Класична ймовірність: формула одна, а помиляються в тому, що саме рахувати

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Класична ймовірність події дорівнює кількості сприятливих наслідків, поділеній на кількість усіх рівноможливих наслідків. Формула стоїть у довіднику НМТ, і поділити одне число на інше вміють усі. Помиляються раніше, на етапі підрахунку: беруть наслідки, які не є рівноможливими, забувають про порядок або рахують сприятливі випадки не з тієї множини, що всі.

На нашому пробному НМТ 19 вересня було завдання на ймовірність, де формула взагалі не знадобилася: досить було зрозуміти, яку частку кола займає сектор кругової діаграми. Правильно відповіли 38 % учасників, 26,1 % пропустили завдання.

Тут n кількість усіх можливих наслідків випробування, k кількість тих, за яких подія A відбувається. Ймовірність завжди лежить від нуля до одиниці: нуль у неможливої події, одиниця в достовірної. Остання формула про протилежну подію, тобто про те, що A не відбудеться. Її в довіднику немає, а знадобиться вона частіше, ніж здається.

Рівноможливі наслідки: де ховається помилка

Формула працює, тільки якщо всі n наслідків однаково ймовірні. Кидаємо два кубики і питаємо, яка ймовірність, що сума очок дорівнює 7. Можливих сум одинадцять, від 2 до 12, і велика спокуса відповісти «одна одинадцята». Але сума 2 виходить одним способом, а сума 7 шістьма, тож суми не рівноможливі.

Рівноможливими є пари чисел на першому й другому кубику, і таких пар 6 · 6 = 36. Сума 7 з'являється в шести з них, тому ймовірність дорівнює шести тридцять шостим, тобто одній шостій. Важливо, що пари 1 і 6 та 6 і 1 різні: кубики різні, навіть якщо однакового кольору. Хто рахує їх як один наслідок, отримує 21 пару замість 36 і помилкову відповідь.

Звідси правило, яке я прошу учнів виконувати до будь-яких обчислень: спершу словами описати, що є одним наслідком. «Пара чисел на двох кубиках», «набір з двох білетів», «порядок п'яти карток». Це займає десять секунд і відсікає більшість помилок у цій темі.

Протилежна подія, або як порахувати «хоча б один»

Коли в умові є слова «хоча б один», прямий підрахунок зазвичай довгий. Кидаємо чотири монети: хоча б один герб може означати один, два, три або чотири герби, і кожен випадок треба рахувати окремо. Набагато швидше порахувати протилежну подію «жодного герба». Вона одна з шістнадцяти рівноможливих комбінацій, отже шукана ймовірність дорівнює одиниці мінус одна шістнадцята.

Ймовірність разом з комбінаторикою

У складніших задачах n і k самі рахуються комбінаторними формулами. Серед 10 лотерейних білетів 4 виграшні, навмання беруть два. Порядок, у якому взяли білети, неважливий, тому і всі наслідки, і сприятливі рахуємо комбінаціями. Як відрізнити комбінацію від розміщення одним питанням, ми розбирали в статті про розміщення, комбінації й перестановки.

Зверніть увагу на другий рядок. «Рівно один виграшний» означає, що один білет узяли з чотирьох виграшних, а другий з шести невиграшних, і ці вибори перемножуються. Сума трьох ймовірностей «обидва виграшні», «рівно один» і «жодного» має дорівнювати одиниці, і це зручна самоперевірка: два п'ятнадцятих, вісім п'ятнадцятих і ще одна третя для «жодного» справді дають одиницю.

Задача з пробного НМТ, яку розв'язали 38 %

Умова з пробного НМТ 19 вересня, автор тесту Юрій Захарійченко. На круговій діаграмі показано, скільки завдань посібника розв'язали моделі штучного інтелекту A, B і C, причому кожне завдання розв'язала лише одна модель. Сектор A прямий, його кут 90°, сектор C має кут 120°. Учитель навмання вибирає завдання. Яка ймовірність, що його розв'язала модель B? Варіанти відповіді: одна друга, одна четверта, одна третя, п'ять шостих і п'ять дванадцятих.

Сектор B займає те, що лишилося від повного кута: 360° мінус 90° мінус 120°, тобто 150°. Частка завдань моделі B дорівнює частці кола, отже ймовірність дорівнює 150 поділити на 360, тобто п'ять дванадцятих. Найпростіша пастка тут поділити 120° на 360° і отримати одну третю, тобто взяти кут, який підписаний, замість кута, про який питають.

Як записати відповідь на НМТ

У завданнях з вибором відповіді ймовірність зазвичай подана дробом, і треба лише скоротити свій результат. У завданнях з короткою відповіддю вписують число, тож дріб переводять у десятковий: три двадцятих записують як 0,15. Звідси корисний і не надто очевидний висновок: якщо у вас вийшов дріб, який не перетворюється на скінченний десятковий, наприклад одна третя, а завдання з короткою відповіддю, варто перевірити розв'язання ще раз. Укладачі добирають числа так, щоб відповідь записувалася скінченним дробом.

І ще одна перевірка, яка ловить грубі помилки: ймовірність не буває більшою за одиницю чи від'ємною. Якщо вийшло п'ять четвертих, ви поміняли місцями n і k або порахували сприятливі наслідки в іншій множині, ніж усі.

12 задач для самоперевірки

Перед підрахунком запишіть, що є одним наслідком. Відповіді на картинці нижче.

1. Кидають гральний кубик. Яка ймовірність, що випаде число, більше за 4?

2. У коробці 5 червоних, 7 синіх і 8 зелених кульок. Навмання беруть одну. Яка ймовірність, що вона синя?

3. Кидають дві монети. Яка ймовірність, що герб випаде рівно один раз?

4. Кидають два кубики. Яка ймовірність, що сума очок дорівнює 10?

5. Кидають три монети. Яка ймовірність, що хоча б одна впаде гербом?

6. З натуральних чисел від 1 до 30 навмання вибирають одне. Яка ймовірність, що воно ділиться на 3 або на 5?

7. У лотереї 200 білетів, з них 12 виграшних. Яка ймовірність, що куплений білет не виграє?

8. У класі 12 хлопців і 18 дівчат. Навмання обирають одного учня. Яка ймовірність, що це дівчина?

9. У пакеті 6 яблук, з них 2 зелені. Навмання беруть два яблука. Яка ймовірність, що обидва зелені?

10. Картки з цифрами 1, 2, 3, 4 і 5 навмання розклали в ряд. Яка ймовірність, що утворене п'ятицифрове число парне?

11. Кидають два кубики. Яка ймовірність, що на них випадуть різні числа?

12. На круговій діаграмі частку учнів, які обрали англійську мову, зображено сектором з кутом 108°. Яка ймовірність, що навмання вибраний учень обрав англійську?

Відповіді

Підказки до трьох задач. У шостій не рахуйте двічі числа 15 і 30, які діляться і на 3, і на 5. У десятій парність залежить лише від останньої цифри, тож досить зрозуміти, яка частка карток може стояти в кінці. В одинадцятій зручніше порахувати протилежну подію: однакові числа випадають у шести парах з тридцяти шести.

Де потренуватися

Безкоштовний тест «Ймовірність і статистика» у розділі НМТ за темами містить 76 завдань. Для повторення означень є колода флешкарток «Ймовірність і статистика», а для роботи на папері PDF-набір з цієї теми з конспектом і тестами.

Ймовірність майже завжди записують дробом, і якщо скорочення чи порівняння дробів даються важко, почніть зі статті про те, чому проблеми з математикою починаються з дробів. Що ще, крім формули ймовірності, дають у довіднику, зібрано в статті про довідник НМТ з математики, а повні результати пробного тесту 19 вересня є в огляді результатів.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Формулу звірено з довідковими матеріалами УЦОЯО, результат задачі з діаграмою взято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, а відповіді до всіх задач перевірено повним перебором наслідків.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 6 жовтня 2026 року. Класичне означення ймовірності входить до чинної програми з математики; модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.