Розміщення, комбінації й перестановки: усе вирішує одне питання про порядок

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Розміщення від комбінації відрізняє одне питання: чи зміниться результат, якщо двох вибраних поміняти місцями. Якщо зміниться, як у кодовому замку чи під час розподілу посад, це розміщення. Якщо ні, як у складі команди чи в наборі фруктів у кошику, це комбінація. Перестановка взагалі не окремий вид задач. Це розміщення, у якому беруть усі елементи, тому її формула виходить з формули розміщень, коли k дорівнює n.

Формули всіх трьох є в довіднику НМТ, тож зубрити їх не треба. Бали губляться на виборі формули. На нашому пробному НМТ 19 вересня задачу про порядок, у якому шість держав утворюють коаліцію, правильно розв'язали 41,4 % учасників, а ще 28,2 % її пропустили. Формула там потрібна одна, і вона лежала перед очима.

n! (читається «ен факторіал») це добуток усіх натуральних чисел від 1 до n, наприклад 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Окремо домовилися, що 0! = 1. Навіщо така домовленість, стане зрозуміло за кілька абзаців.

Звідки береться формула розміщень

Усю шкільну комбінаторику тримає правило добутку. Якщо перший вибір можна зробити m способами, а після нього другий n способами, то обидва вибори разом можна зробити m · n способами. З дому до школи ведуть три дороги, від школи до басейну чотири, отже різних маршрутів «дім, школа, басейн» дванадцять.

Тепер код із трьох різних цифр. На першу позицію годиться будь-яка з десяти цифр, на другу вже тільки дев'ять, бо одну зайняли, на третю вісім. Разом 10 · 9 · 8 = 720 кодів. Це і є розміщення з 10 по 3. Формула з довідника через факторіали виглядає громіздко, а рахувати зручніше так: беремо k множників, починаючи з n, і кожен наступний на одиницю менший.

Перестановка це розміщення, у якому взяли всіх

Якщо з n елементів беремо всі n і ставимо в ряд, ми рахуємо розміщення з n по n. Підставимо це у формулу, і в знаменнику з'явиться 0!. Саме тому 0! вважають одиницею: інакше перестановки не збігалися б з розміщеннями, хоча задача та сама.

Чотирьох учнів можна поставити в чергу 24 способами. Першим може стати будь-хто з чотирьох, другим будь-хто з трьох, що лишилися, третім один з двох, а останній визначається сам. Перестановка рахується за тим самим правилом добутку, просто множники доходять до одиниці.

Комбінація це розміщення, у якому забули порядок

Візьмемо п'ятьох учнів і виберемо трьох. Якщо це капітан, заступник і секретар, порядок важливий, і варіантів 5 · 4 · 3 = 60. Якщо ж це просто трійка на олімпіаду, то Андрій, Богдан і Віра в будь-якому порядку означають ту саму команду. Одна трійка людей дає 3! = 6 різних розміщень, тому комбінацій ушестеро менше: 60 : 6 = 10.

Звідси загальне правило, яке й пояснює формулу з довідника. Кількість комбінацій з n по k дорівнює кількості розміщень з n по k, поділеній на k!. Комбінацій завжди в k! разів менше, ніж розміщень з тими самими n і k.

Одне питання замість списку ключових слів

Підручники часто радять шукати в умові слова «упорядкований», «вибрати», «розставити». Я б на них не покладався. Умови НМТ пишуть нейтрально, і слово «вибрати» трапляється в задачах обох типів. Надійніше подумки поміняти двох вибраних місцями і подивитися, чи вийшло щось інше.

Ось як це працює на звичних сюжетах. Пароль із чотирьох різних цифр: 1234 і 2134 це різні паролі, отже розміщення з 10 по 4, тобто 10 · 9 · 8 · 7 = 5040. Рукостискання вісьмох людей: коли Олег тисне руку Ірині, це те саме рукостискання, що й Ірина з Олегом, отже комбінація з 8 по 2, тобто 28.

Турнір, де кожна з восьми команд грає з кожною вдома і на виїзді, вже інша історія. Матч, у якому команда А приймає команду Б, і матч, у якому Б приймає А, різні, тому рахуємо розміщення з 8 по 2, і матчів 56. Лотерея «6 з 49» навпаки: порядок, у якому випадають кульки, на виграш не впливає, отже комбінація. А гостей, яких розсаджують на пронумеровані стільці, рахують розміщеннями. Якщо гостей рівно стільки, скільки стільців, це перестановка.

Коли в задачі кілька виборів

Часто одна формула задачу не закриває. У класі 6 хлопців і 4 дівчини, і треба вибрати двох хлопців та одну дівчину. Хлопців обираємо окремо, дівчину окремо, а результати за правилом добутку перемножуємо: 15 · 4 = 60. Типова помилка тут додати замість помножити. Додають тоді, коли варіанти виключають один одного, наприклад «або двох хлопців, або двох дівчат».

І ще одна річ, яка економить час. Вибрати 7 учнів з 10 це те саме, що вирішити, яких трьох не брати. Тому комбінацій з 10 по 7 рівно стільки ж, скільки з 10 по 3, тобто 120, і рахувати треба лише три множники замість семи.

Задача з пробного НМТ, яку розв'язали 41,4 %

Умова з пробного НМТ 19 вересня, автор тесту Юрій Захарійченко. Держава А ініціює створення коаліції з шести держав A, B, C, D, E, F. Перший етап починається з держави А, на другому до неї приєднується одна з п'яти держав, що залишилися, і так далі. Скільки існує можливих послідовностей формування коаліції? Варіанти відповіді: 720, 120, 25, 6 і 5.

Питання про обмін місцями одразу каже, що порядок важливий: послідовності A, B, C… і A, C, B… різні. Отже рахуємо розставляння. Але перше місце вже зайняте державою А, тому розставляємо лише п'ять решти держав на п'ять місць. Це перестановка з п'яти, 5! = 120.

Найочевидніша пастка тут 720, тобто 6!. Таке число виходить, якщо не помітити, що перша держава відома заздалегідь. Правильно відповіли 41,4 % учасників, 30,4 % помилилися, 28,2 % задачу пропустили, хоча на неї досить хвилини.

Де ще губляться бали

Найчастіше підводять повторення. Якщо цифри в коді можуть повторюватися, це вже не розміщення: на кожну з чотирьох позицій годиться будь-яка з десяти цифр, і варіантів 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000. Формули з довідника рахують вибір без повторень, тож перед підстановкою варто спитати себе, чи може елемент трапитися двічі.

Друга пастка це нуль на початку числа. Тризначних чисел з різними цифрами не 10 · 9 · 8, бо число не може починатися з нуля. На перше місце годяться лише 9 цифр, на друге знову 9 (нуль уже можна, але одну цифру забрали), на третє 8. Разом 648.

Третя пастка з'являється в тих, хто щойно зрозумів зв'язок між комбінаціями й розміщеннями і тепер ділить на k! завжди. Перевірка та сама: поміняйте двох місцями.

Четверта найприкріша: вираз записано правильно, а множення порахували з помилкою. Факторіали ростуть дуже швидко, тому скорочуйте до того, як множити. У комбінаціях з 15 по 3 спершу поділіть 15 · 14 · 13 на 6, тобто 5 · 7 · 13 = 455, і великих чисел не буде взагалі.

12 задач для самоперевірки

Перед тим як рахувати, вирішіть для кожної задачі, що це: розміщення, комбінація, перестановка чи кілька виборів поспіль. Відповіді нижче.

1. Скількома способами можна поставити на полицю 6 різних книжок?

2. Скільки тризначних кодів можна скласти з цифр від 1 до 9, якщо цифри в коді не повторюються?

3. З 12 учнів класу треба вибрати трьох для участі в олімпіаді. Скількома способами це можна зробити?

4. З тих самих 12 учнів треба вибрати старосту, його заступника і скарбника. Скількома способами?

5. Кожен з 9 учасників зустрічі потиснув руку кожному іншому один раз. Скільки було рукостискань?

6. У турнірі 10 команд, і кожна зіграла з кожною два матчі, вдома і на виїзді. Скільки всього матчів?

7. Скільки різних «слів», не обов'язково осмислених, можна скласти, переставляючи всі букви слова КОНУС?

8. Скільки існує чотиризначних чисел, усі цифри яких різні?

9. У класі 10 хлопців і 8 дівчат. Скількома способами можна скласти делегацію з двох хлопців і двох дівчат?

10. На колі позначено 9 точок. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

11. П'ятьох гостей розсаджують у ряд на 5 стільців. Скількома способами це можна зробити, якщо двоє з них хочуть сидіти поруч?

12. Скільки діагоналей має опуклий десятикутник?

Відповіді

1) 720; 2) 504; 3) 220; 4) 1320; 5) 36; 6) 90; 7) 120; 8) 4536; 9) 1260; 10) 84; 11) 48; 12) 35.

Підказки до двох останніх. В одинадцятій двох гостей, які сидять поруч, зручно вважати одним «подвійним» гостем: чотирьох учасників розсаджують 24 способами, а всередині пари є ще два порядки, тож 24 · 2 = 48. У дванадцятій кожні дві вершини з'єднуємо відрізком, таких відрізків 45, і віднімаємо 10 сторін.

Де потренуватися

На сайті є безкоштовний тест «Елементи комбінаторики» на 32 завдання в розділі НМТ за темами, колода флешкарток з комбінаторики для повторення правил і PDF-набір «Елементи комбінаторики» з конспектом і тестами для роботи на папері. Перевірити тему у форматі справжнього тесту можна на симуляторі НМТ.

Що ще, крім цих трьох формул, є в довіднику, а що доведеться пам'ятати самому, ми розібрали в статті про довідник НМТ з математики. Повна статистика пробного тесту 19 вересня, зокрема які теми просіли найбільше, є в огляді результатів, а інші часті помилки зібрано в статті про типові помилки на НМТ з математики.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Формули звірено з довідковими матеріалами УЦОЯО, результат задачі про коаліцію взято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, а відповіді до всіх задач перераховано окремо.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 29 вересня 2026 року. Комбінаторика входить до чинної програми, за якою складали НМТ-2026; модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.