Квадратні корені та формули скороченого множення

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Арифметичний квадратний корінь із числа a це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a. Тому √9 = 3, а не ±3.

Виглядає як дрібниця, а на розборах робіт це одна з найдорожчих помилок теми. Два знаки з'являються лише при розв'язанні рівняння x² = 9; сам корінь завжди невід'ємний. Поряд із коренями постійно працюють формули скороченого множення, бо без них не спрощується жоден складніший вираз.

Формули скороченого множення

Згадаємо формули скороченого множення!

Добуток суми на різницю двох одночленів дорівнює різниці квадратів цих одночленів.

Квадрат суми(різниці) двох одночленів дорівнює квадрату першого одночлена, плюс(мінус) подвоєний добуток першого на другий, плюс квадрат другого одночлена.

Куб суми двох одночленів дорівнює кубу першого одночлена, плюс потроєний добуток квадрата першого на другий , плюс потроєний добуток першого на квадрат другого, плюс куб другого одночлена.

Добуток суми двох одночленів на неповний квадрат їх різниці, дорівнює сумі квадратів цих одночленів.

Добуток різниці двох одночленів на неповний квадрат їх суми, дорівнює різниці квадратів цих одночленів.

Що таке арифметичний квадратний корінь

Арифметичним квадратним коренем з додатного числа називається таке число, квадрат якого дорівнює підкореневому виразу.

Властивості квадратного кореня

Дії над коренями

додавання:

множення:

ділення:

піднесення до степеня:

Приклад №1:

Розв’язок:

Приклад №2:

Розв’язок:

Обчислити вирази з коренями, позбувшись ірраціональності в знаменнику:

Винесення множника з-під кореня і внесення під корінь

Дві операції, які закривають більшість завдань на спрощення.

Щоб винести множник, розкладіть підкореневе число на множники так, щоб один із них був точним квадратом: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Щоб внести, підніміть число перед коренем до квадрата й заведіть під корінь: 3√2 = √(9 · 2) = √18.

Внесення найзручніше саме для порівняння. Що більше, 3√2 чи 2√5? Заносите обидва під корінь, отримуєте √18 і √20, і відповідь видно без калькулятора.

Як позбутися ірраціональності в знаменнику

Якщо в знаменнику стоїть один корінь, множите чисельник і знаменник на цей корінь: 1/√3 = √3/3.

Якщо там сума або різниця з коренем, множите на спряжений вираз. Наприклад, 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3, бо (√5 − √2)(√5 + √2) = 5 − 2 = 3. Тут прямо працює формула різниці квадратів, і це ще одна причина знати її напам'ять, а не виводити на ходу.

Шість помилок, починаючи з √9 = ±3

Перша винесена в заголовок: пишуть √9 = ±3, хоча арифметичний корінь невід'ємний. Поруч із нею друга, √(a²) = a. Насправді √(a²) = |a|, і для від'ємного a результат додатний. Третя: «розкладають» корінь із суми. Перевірте на числах: √(9 + 16) = 5, а 3 + 4 = 7. Четверта: забувають, що підкореневий вираз має бути невід'ємним, а це частина ОДЗ, яка часто вирішує завдання цілком. Ще дві помилки прийшли з формул скороченого множення. Плутають (a + b)² з a² + b², бо подвоєний добуток губиться найлегше, і шукають формулу для a² + b², хоча сума квадратів на множники не розкладається.

Формули скороченого множення і правила коренів

• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
• a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Корінь невід'ємний завжди, і √(a²) = |a|. Добуток і частку коренів можна об'єднувати під один корінь, але тільки для невід'ємного підкореневого виразу й ненульового знаменника. Корінь із суми на доданки не розпадається. Щоб прибрати корінь зі знаменника, множте на спряжений вираз.

Чому √9 = 3 і ще кілька питань про корені

Чому √9 = 3, а не ±3?

Бо арифметичний квадратний корінь за означенням невід'ємний. Знак ± з'являється при розв'язанні рівняння x² = 9, де відповідь це два числа.

Чому √(a²) = |a|, а не a?

Бо результат кореня не може бути від'ємним. Якщо a = −5, то √((−5)²) = √25 = 5.

Як порівняти два корені без калькулятора?

Внесіть множники під корінь і порівняйте підкореневі числа.

Навіщо позбуватися ірраціональності в знаменнику?

Так відповідь набуває стандартного вигляду, а саме в такому вигляді її зазвичай наводять у варіантах відповідей на тесті.

Чи потрібні формули скороченого множення на НМТ?

Так, вони входять майже в кожне завдання на спрощення виразів і розв'язання рівнянь: Математика на НМТ.

Теми, з якими корені йдуть у парі

Корені майже завжди стоять усередині довших виразів, тому корисно мати під рукою алгебраїчні вирази. Корінь можна записати як степінь із дробовим показником, про це в матеріалі степінь та його властивості. А звідки береться модуль у √(a²), пояснює тема дійсні числа.

Коли розділ прочитано, перевірте себе на коренях у тестах за темами: там видно, чи справді зникла помилка з √9 = ±3. Формули можна ганяти за флешкартками, а повний варіант з усіма темами лежить у розділі тести НМТ. Як вписати цю тему в загальний графік, описано в статті Підготовка до НМТ.

Розбір завдань із коренями з пробних НМТ час від часу викладаємо в телеграмі: t.me/nmt_zno_evi.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Опубліковано 30 липня 2026 року, оновлено у вересні.