Лінійні нерівності: як розв’язувати та системи нерівностей

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Лінійна нерівність це нерівність виду ax + b > 0 (або з іншим знаком: <, ≤, ≥). Розв'язати її означає знайти всі значення x, при яких вона правильна.

Алгоритм короткий: переносите невідомі в один бік, відомі в інший, ділите на коефіцієнт. І якщо цей коефіцієнт від'ємний, міняєте знак нерівності на протилежний. Саме цей крок забувають частіше, ніж усі інші разом узяті. Відповідь записують проміжком.

Що таке нерівність

Два дійсних числа або алгебраїчних виразів, які з’єднані знаком <, >, ≤, ≥ утворюють нерівність A>B, A<B.

Розв’язком нерівності називається таке значення невідомого, при якому ця нерівність перетворюється у правильну числову нерівність.

Розв’язати нерівність означає знайти всі значення невідомого, при яких дана нерівність перетворюється у правильну числову нерівність, або встановити, що таких значень невідомого не має.

Властивості нерівностей

1 Якщо a>b, то b<a.

Нерівності можна читати з ліва на право і з права на ліво.

2 Якщо a>b, b>с,то a>с.

Дану нерівність можна замінити подвійною нерівністю a> b>с.

3 Якщо a>b, то a+с>b+с.

Нерівність залишається незмінною, якщо до обох частин додати одне й те саме число.

Наслідок: довільне число можна перенести з однієї частини нерівності в другу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.

4 Якщо a>b і с>0,то a∙с>b∙с.

При множенні обох частин нерівності на одне й теж саме додатне число знак нерівності не змінюється.

5 Якщо a>b і с<0,то a∙с<b∙с.

При множенні обох частин нерівності на одне й теж саме від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

6 Якщо a>b і с>d,то a+с>b+d.

Дві нерівності однакового знаку можна почленно додавати.

7 Якщо a>b і с<d,то a-с>b-d.

Дві нерівності різного знаку можна почленно віднімати, залишаючи знак тої нерівності, від якої віднімали.

8 Якщо a>b і с>d,то aс>bd, де a,b,с,d - додатні числа.

Нерівності однакового знаку, в яких ліві та праві частини додатні, можна почленно множити, при цьому отримується нерівність того ж знаку.

Як розв’язувати лінійні нерівності

Лінійною нерівністю називається нерівність вигляду

ax+b*0,

де a,b - числа, x - невідоме, * - один із знаків <, >, ≤, ≥.

Щоб розв’язати лінійну нерівність , треба:

перенести доданок з невідомим в одну сторону, а з відомим в другу

ax+b<0,

ax<-b ;

поділити на коефіцієнт біля змінної, причому

якщо a>0 (додатне), то знак нерівності не змінюється

 x<-b/a;

якщо a<0 (від’ємне), то знак нерівності змінюється

 x>-b/a;

зобразити розв’язки на числовій осі і записати відповідь у вигляді числового проміжку.

Приклад: 

Відповідь:

Приклад:

Відповідь:

Системи нерівностей

Розв’язок системи – ті значення невідомого, при якому всі нерівності системи перетворюються на правильні числові нерівності.

Розв’язати систему – вказати всі розв’язки системи або встановити, що система не має розв’язків.

Щоб розв’язати систему нерівностей, треба розв’язати кожну нерівність окремо і знайти їх спільні розв’язки.

Приклад:

Як записати відповідь

Відповідь лінійної нерівності це завжди проміжок, а не одне число. Якщо x > 3, пишемо (3; +∞) з круглою дужкою, бо трійка не входить. Якщо x ≥ 3, пишемо [3; +∞) з квадратною, бо входить. Так само з другого боку: x < 3 дає (−∞; 3), а x ≤ 3 дає (−∞; 3].

Біля нескінченності дужка завжди кругла, винятків не буває. Докладніше про проміжки й модуль: Дійсні числа.

Система і сукупність

Ось місце, де помиляються найчастіше, і помилка коштує всього завдання.

Система записується фігурною дужкою, і в ній мають виконуватися всі нерівності одночасно. Відповіді перетинають, тобто беруть спільну частину проміжків. Сукупність записується квадратною дужкою, і в ній достатньо, щоб виконувалася хоча б одна нерівність. Відповіді об'єднують.

На практиці найпростіше намалювати всі проміжки на одній числовій прямій. Для системи берете ділянку, закриту всіма штрихуваннями. Для сукупності все, що заштриховано хоча б раз.

Помилки, які коштують усього завдання

Не змінюють знак нерівності при діленні на від'ємне число, і відповідь виходить рівно протилежною. Множать або ділять на вираз зі змінною, хоча його знак невідомий, а треба переносити все в один бік. Плутають круглу і квадратну дужку: строгий знак кінець не включає, нестрогий включає. Ставлять квадратну дужку біля нескінченності. Беруть об'єднання замість перерізу в системі, а система це «і», а не «або». І не помічають, що розв'язків немає: якщо проміжки системи не перетинаються, відповідь порожня множина.

Знаки, дужки й системи в кількох реченнях

Додавати й віднімати одне й те саме число можна вільно, знак не змінюється. Множити й ділити на додатне число теж безпечно. На від'ємне знак змінюється на протилежний. Перенесення доданка через знак нерівності змінює знак самого доданка.

Строга нерівність дає круглу дужку, нестрога квадратну, біля нескінченності завжди кругла. Система це переріз проміжків, сукупність об'єднання. І два окремі випадки, які любить тест: 0 · x > 5 розв'язків не має, а 0 · x < 5 виконується для всіх x.

Чому змінюється знак і що робити, коли зникає x

Чому при діленні на від'ємне число знак змінюється?

Бо множення на від'ємне число перевертає числову пряму: те, що було більшим, стає меншим. Перевірте на числах: 2 < 3, але −2 > −3.

Що робити, якщо змінна зникла?

Дивіться на числову нерівність, що залишилася. Якщо вона правильна, розв'язком є всі x. Якщо неправильна, розв'язків немає.

Чи можна множити нерівність на знаменник?

Якщо знаменник це число, так. Якщо в ньому є змінна, ні: його знак невідомий. Треба зводити до вигляду «дріб ⋛ 0» і застосовувати метод інтервалів.

Чим лінійна нерівність відрізняється від квадратної?

У лінійної змінна в першому степені й відповідь один проміжок. У квадратної з'являється x², і відповідь часто складається з двох проміжків: Квадратні нерівності.

Чи буде ця тема на НМТ?

Так, нерівності входять до програми з математики.

Що вчити після лінійних нерівностей

Ті самі перенесення й ділення на коефіцієнт працюють і в рівняннях, тільки там знак нічого не перевертає: лінійні, квадратні та дробово-раціональні рівняння. А коли нерівність спершу треба скласти за умовою, потрібне вміння перекладати слова в математику. Його ми розбирали на відсотках, русі й роботі в матеріалі про текстові задачі на НМТ.

Після цієї статті має лишитися звичка: ділиш на від'ємне, міняєш знак. Перевірити, чи вона з'явилася, найпростіше в тестах за темами, а потім на повному варіанті в розділі тести НМТ, де нерівність стоїть поруч з іншими темами і про звичку легко забути. Куди вписати нерівності в графік підготовки, дивіться в статті Підготовка до НМТ.

Анонси пробних НМТ і розбори завдань після них: t.me/nmt_zno_evi.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік помилок вище зібрано з розборів занять і пробних тестів наших учнів.

Опубліковано 14 вересня 2026 року. У вересні додано офіційні джерела.