У стереометрії на НМТ призму провалюють частіше за логарифми

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Майже кожна стереометрична задача НМТ зводиться до пошуку одного прямокутного трикутника всередині об'ємної фігури. Знайшли його, далі працює теорема Піфагора, яку всі знають ще з восьмого класу. Не знайшли, задача виглядає непідйомною.

На нашому пробному НМТ 19 вересня 2026 року призма опинилася на першому місці серед тем, де учасники втрачали бали з математики. Не логарифми, не інтеграл, не параметри. Призма.

Чому саме призма

Тому що з нею пов'язано найбільше формул, які здаються схожими. Площа бічної поверхні, площа повної поверхні, об'єм, діагональ основи, діагональ самої призми. Усі містять ті самі літери в різних комбінаціях, і на тесті під час людина підставляє не ту.

Насправді формул треба три. Об'єм будь-якої призми дорівнює площі основи, помноженій на висоту: V = S·h. Площа бічної поверхні дорівнює периметру основи, помноженому на висоту: S = P·h. Для прямокутного паралелепіпеда квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів: d² = a² + b² + c².

Решта виводиться на місці. Якщо ви пам'ятаєте, що діагональ паралелепіпеда це гіпотенуза трикутника, у якого один катет це діагональ основи, а другий це висота, формулу d² = a² + b² + c² навіть не треба вчити: вона збирається з двох теорем Піфагора поспіль.

Множник, який коштує бал

Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі основи на висоту. Об'єм конуса теж одна третя. Забутий множник 1/3 це найчастіша помилка в стереометрії з усіх, що ми бачимо на розборах, і вона особливо прикра: хід розв'язання правильний, число втричі більше, бал нуль.

Просте правило для перевірки: якщо фігура звужується до однієї вершини, у формулі об'єму є одна третя. Піраміда та конус з вершиною, тому 1/3. Призма й циліндр без вершини, тому без множника. Куля стоїть окремо, у неї 4/3.

Як шукати той самий трикутник

Візьмемо типове формулювання: у правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 6, а бічне ребро 5, знайти висоту.

Висота падає в центр квадрата. Бічне ребро йде у вершину квадрата. Отже, висота, половина діагоналі основи й бічне ребро утворюють прямокутний трикутник, де ребро це гіпотенуза. Діагональ квадрата зі стороною 6 дорівнює 6√2, половина 3√2, її квадрат 18. Тоді висота в квадраті дорівнює 25 мінус 18, тобто 7, і висота дорівнює √7.

Уся задача це один малюнок і одна теорема Піфагора. Так само влаштовані задачі про апофему, про кут нахилу бічної грані, про діагональний переріз. Змінюється тільки те, які два відрізки ви берете за катети.

Звідки в просторі береться прямокутний трикутник і як знайти потрібний кут, докладно пояснюють статті про теорему про три перпендикуляри і про кут між прямою і площиною.

Малюнок вирішує більше, ніж формула

Учні часто намагаються розв'язати стереометрію в голові, бо «тут же просто підставити». На пласкому малюнку видно, що висота піраміди й бічне ребро не лежать в одній площині, а в уяві це легко злипається.

Моя порада однозначна: малюйте завжди, навіть якщо задача здається очевидною. Тридцять секунд на ескіз дешевші за втрачений бал. І позначайте на малюнку всі відомі числа одразу, бо половина помилок це підставлене не в те місце значення.

Що повторити перед тестом

Формули об'ємів і площ поверхонь для призми, піраміди, циліндра, конуса й кулі. Теорему Піфагора та співвідношення в прямокутному трикутнику. Значення синуса, косинуса й тангенса для 30, 45 і 60 градусів, бо кути нахилу в задачах майже завжди саме ці. Діагональ квадрата a√2 і висоту рівностороннього трикутника a√3/2.

Це короткий список, і його реально закрити за кілька вечорів. Тримати такі формули зручно у флеш-картках, а відпрацьовувати на завданнях у тестах за темами.

Якщо призабулися основи стереометрії 10 класу, почніть зі статей про аксіоми стереометрії, про мимобіжні прямі і про координати у просторі.

Що саме просідає в математиці загалом, ми розбирали в статті про типові помилки, а структуру математичного блоку з кількістю завдань і балів описали тут. Повні результати нашого вересневого пробного з переліком найслабших тем лежать в окремому матеріалі.

Скільки це коштує в балах

У математичному блоці НМТ-2026 було 22 завдання на 32 бали, і поріг становив 15 % від максимуму. На нашому пробному з математики поріг не подолали 34,6 % учасників. Стереометрія там не головна причина, але дві-три задачі на об'єми й поверхні трапляються стабільно, і це чотири бали, які беруться формулами, а не здібностями.

Як тестові бали перетворюються на рейтингові, показано в статті про підрахунок балів, а порахувати свій конкурсний бал можна в калькуляторі.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік тем, де найчастіше втрачають бали, узятий зі статистики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, приклади помилок з розборів на заняттях, структура тесту звірена з документами УЦОЯО.

Опубліковано 20 вересня 2026 року. Правил НМТ-2027 на цю дату не затверджено.