Стереометрія на НМТ: чому призма провалюється частіше за логарифми

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Майже кожна стереометрична задача НМТ зводиться до пошуку одного прямокутного трикутника всередині об'ємної фігури. Знайшли його, далі працює теорема Піфагора, яку всі знають ще з восьмого класу. Не знайшли, задача виглядає непідйомною.

На нашому пробному НМТ 19 вересня 2026 року призма опинилася на першому місці серед тем, де учасники втрачали бали з математики. Не логарифми, не інтеграл, не параметри. Призма.

Чому саме призма

Тому що з нею пов'язано найбільше формул, які здаються схожими. Площа бічної поверхні, площа повної поверхні, об'єм, діагональ основи, діагональ самої призми. Усі містять ті самі літери в різних комбінаціях, і на тесті під час людина підставляє не ту.

Насправді формул треба три. Об'єм будь-якої призми дорівнює площі основи, помноженій на висоту: V = S·h. Площа бічної поверхні дорівнює периметру основи, помноженому на висоту: S = P·h. Для прямокутного паралелепіпеда квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів: d² = a² + b² + c².

Решта виводиться на місці. Якщо ви пам'ятаєте, що діагональ паралелепіпеда це гіпотенуза трикутника, у якого один катет це діагональ основи, а другий це висота, формулу d² = a² + b² + c² навіть не треба вчити: вона збирається з двох теорем Піфагора поспіль.

Множник, який коштує бал

Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі основи на висоту. Об'єм конуса теж одна третя. Забутий множник 1/3 це найчастіша помилка в стереометрії з усіх, що ми бачимо на розборах, і вона особливо прикра: хід розв'язання правильний, число втричі більше, бал нуль.

Просте правило для перевірки: якщо фігура звужується до однієї вершини, у формулі об'єму є одна третя. Піраміда та конус з вершиною, тому 1/3. Призма й циліндр без вершини, тому без множника. Куля стоїть окремо, у неї 4/3.

Як шукати той самий трикутник

Візьмемо типове формулювання: у правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 6, а бічне ребро 5, знайти висоту.

Висота падає в центр квадрата. Бічне ребро йде у вершину квадрата. Отже, висота, половина діагоналі основи й бічне ребро утворюють прямокутний трикутник, де ребро це гіпотенуза. Діагональ квадрата зі стороною 6 дорівнює 6√2, половина 3√2, її квадрат 18. Тоді висота в квадраті дорівнює 25 мінус 18, тобто 7, і висота дорівнює √7.

Уся задача це один малюнок і одна теорема Піфагора. Так само влаштовані задачі про апофему, про кут нахилу бічної грані, про діагональний переріз. Змінюється тільки те, які два відрізки ви берете за катети.

Малюнок вирішує більше, ніж формула

Учні часто намагаються розв'язати стереометрію в голові, бо «тут же просто підставити». На пласкому малюнку видно, що висота піраміди й бічне ребро не лежать в одній площині, а в уяві це легко злипається.

Моя порада однозначна: малюйте завжди, навіть якщо задача здається очевидною. Тридцять секунд на ескіз дешевші за втрачений бал. І позначайте на малюнку всі відомі числа одразу, бо половина помилок це підставлене не в те місце значення.

Що повторити перед тестом

Формули об'ємів і площ поверхонь для призми, піраміди, циліндра, конуса й кулі. Теорему Піфагора та співвідношення в прямокутному трикутнику. Значення синуса, косинуса й тангенса для 30, 45 і 60 градусів, бо кути нахилу в задачах майже завжди саме ці. Діагональ квадрата a√2 і висоту рівностороннього трикутника a√3/2.

Це короткий список, і його реально закрити за кілька вечорів. Тримати такі формули зручно у флеш-картках, а відпрацьовувати на завданнях у тестах за темами.

Що саме просідає в математиці загалом, ми розбирали в статті про типові помилки, а структуру математичного блоку з кількістю завдань і балів описали тут. Повні результати нашого вересневого пробного з переліком найслабших тем лежать в окремому матеріалі.

Скільки це коштує в балах

У математичному блоці НМТ-2026 було 22 завдання на 32 бали, і поріг становив 15 % від максимуму. На нашому пробному з математики поріг не подолали 34,6 % учасників. Стереометрія там не головна причина, але дві-три задачі на об'єми й поверхні трапляються стабільно, і це чотири бали, які беруться формулами, а не здібностями.

Як тестові бали перетворюються на рейтингові, показано в статті про підрахунок балів, а порахувати свій конкурсний бал можна в калькуляторі.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік тем, де найчастіше втрачають бали, узятий зі статистики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, приклади помилок з розборів на заняттях, структура тесту звірена з документами УЦОЯО.

Оновлено 26 вересня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату не затверджені.