Коло та чотирикутники на НМТ: одне твердження замість десятка формул

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Вписаний кут удвічі менший за центральний, що спирається на ту саму дугу. З цього одного твердження виростає більшість задач НМТ про коло, включно з тими, які на перший погляд здаються про щось інше.

Чотирикутники, коло та круг стоять у переліку тем, де учасники нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року втрачали бали з математики. Причина не в складності, а в тому, що в геометрії немає формули, куди можна просто підставити: спочатку треба побачити конфігурацію.

Три наслідки, які закривають більшість задач про коло

Перший. Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий. Завжди, без винятків. Якщо в умові згадано діаметр і точку на колі, ви вже маєте прямокутний трикутник, навіть якщо про кути нічого не сказано.

Другий. Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні між собою. Тому в задачах із чотирма точками на колі з'являється відразу кілька рівних кутів, і подібність трикутників виникає сама собою.

Третій. У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 градусам. Це швидкий спосіб знайти невідомий кут, коли інших даних майже немає.

Розберемо типове формулювання: чотирикутник вписаний у коло, один кут дорівнює 70 градусам, знайти протилежний. Відповідь 110, і рахувати тут немає чого.

Дотична: єдина властивість, яка потрібна

Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Цього достатньо для майже всіх шкільних задач.

Практично це означає, що щойно в умові з'явилася дотична, ви одразу маєте прямий кут, а отже прямокутний трикутник, а отже теорему Піфагора. Задача про відрізок дотичної з зовнішньої точки розв'язується саме цим ланцюжком.

Площі чотирикутників без плутанини

Паралелограм: сторона на висоту, проведену до цієї сторони. Прямокутник це окремий випадок, де висота збігається з сусідньою стороною.

Ромб має дві робочі формули. Можна як паралелограм, через сторону й висоту, а можна через діагоналі: половина їхнього добутку. Друга зручніша, бо діагоналі ромба перпендикулярні й у задачах дають частіше саме їх.

Трапеція: півсума основ, помножена на висоту. Тут же корисно пам'ятати, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, отже площу можна записати як середня лінія на висоту. Це та сама формула, але в такому вигляді її майже ніколи не плутають.

І довжина кола 2πR, площа круга πR². Дві формули, які змішують мало не щороку: у довжині радіус у першому степені, у площі у квадраті.

Звідки беруться втрати

Найчастіше з малюнка, якого немає. Геометрію намагаються розв'язати в голові, бо «тут же одна дія», і саме там губиться конфігурація.

Друга причина це висота, проведена не туди. У формулі площі паралелограма висота має бути опущена саме на ту сторону, яку ви берете множником. Якщо в умові дано сторону 6 і висоту 4, треба спершу переконатися, що ця висота проведена до цієї сторони, а не до сусідньої.

Третя це кут, узятий не з тієї дуги. У задачах на вписані кути важливо бачити, на яку саме дугу спирається кожен кут, і дві точки на колі можуть задавати дві різні дуги.

Як учити геометрію, якщо вона не дається

Не через формули. Через конфігурації. Візьміть десять типових малюнків: коло з діаметром і точкою, коло з дотичною, вписаний чотирикутник, трапеція з висотами, ромб із діагоналями. Намалюйте кожен від руки й підпишіть, що в ньому автоматично відомо ще до умови задачі.

Після цього більшість завдань перестає бути задачами й стає впізнаванням. Ви бачите діаметр і одразу знаєте, що маєте прямий кут.

Скажу відверто: геометрія це єдина частина математики, де не можна обійтися розв'язуванням на екрані. Потрібні аркуш і олівець, бажано кілька разів на тиждень. Учні, які це ігнорують, застрягають на одному рівні місяцями незалежно від кількості прорішаних тестів.

Об'ємні фігури ми розібрали окремо в статті про стереометрію, і підхід там той самий: спершу малюнок, потім формула. Відпрацьовувати зручно в тестах за темами, а формули площ тримати у флеш-картках.

Повний перелік тем, які просіли на вересневому пробному, лежить тут, структура математичного блоку описана тут, а найчастіші помилки зібрані тут.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік тем, де найчастіше втрачають бали, узятий зі статистики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, спостереження про підготовку з наших занять.

Оновлено 5 жовтня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату офіційно не затверджені.