Прогресії на НМТ: найдешевші бали, які втрачають на одній одиниці

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Прогресії це найдешевші бали в усьому математичному блоці. Дві формули на арифметичну, дві на геометричну, і жодної потреби думати: підставили числа й отримали відповідь.

Втрачають їх майже завжди в одному місці. У формулі стоїть (n − 1), а підставляють n.

Арифметична: додаємо однакове

Кожен наступний член більший за попередній на одне й те саме число d, яке називають різницею. Щоб дістатися до n-го члена, треба зробити не n кроків, а на один менше, бо перший член уже є.

Звідси aₙ = a₁ + (n − 1)d.

Перевіримо на числах. Нехай a₁ = 5, d = 3. Послідовність починається як 5, 8, 11, 14. Порахуємо a₁₀: п'ять плюс дев'ять по три, тобто 5 + 27 = 32. Якби підставили десятку замість дев'ятки, вийшло б 35, і це була б та сама типова помилка.

Сума перших n членів рахується ще простіше: беремо середнє арифметичне першого й останнього та множимо на кількість. Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Для наших чисел сума перших десяти дорівнює (5 + 32) · 10 / 2, тобто 185.

Геометрична: множимо на однакове

Тут кожен наступний член отримують множенням попереднього на знаменник q. Логіка з кроками та сама, тому в показнику знову стоїть на одиницю менше: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

Нехай b₁ = 3, q = 2. Послідовність це 3, 6, 12, 24. П'ятий член дорівнює трьом, помноженим на два в четвертому, тобто 3 · 16 = 48. Не в п'ятому.

Сума перших n членів дорівнює b₁(qⁿ − 1) / (q − 1). Формула працює при будь-якому q, крім одиниці, бо при q = 1 усі члени однакові й сума це просто n · b₁.

Нескінченна сума, яка лякає дарма

Якщо знаменник за модулем менший за одиницю, члени швидко зменшуються, і нескінченна сума існує. Вона дорівнює b₁ / (1 − q).

Класичний приклад: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 і так далі. Тут b₁ = 1, q = 1/2, сума дорівнює одиниці, поділеній на одну другу, тобто двом. Нескінченно багато доданків дають скінченне число, і це не парадокс, а просто наслідок того, що доданки стискаються швидше, ніж їх додають.

У тестових завданнях ця формула найчастіше з'являється разом із періодичним десятковим дробом, який просять записати звичайним. Якщо умова виглядає саме так, згадуйте нескінченну прогресію.

Як не сплутати дві прогресії

Подивіться на сусідні члени. Якщо різниця між ними стала, прогресія арифметична. Якщо стала їхня частка, геометрична.

Для послідовності 2, 6, 18, 54 різниці дорівнюють 4, 12, 36 і не збігаються, зато кожен наступний член утричі більший. Отже геометрична з q = 3.

Ще одна корисна властивість, яку рідко використовують: у арифметичній прогресії кожен член дорівнює середньому арифметичному сусідів, а в геометричній квадрат члена дорівнює добутку сусідів. Це дає швидкий спосіб знайти пропущене число в ряді, не виписуючи формул узагалі.

Що робити, якщо тема здається нудною

Вона і є нудною, і в цьому вся її цінність. Прогресії не вимагають здогадки, натхнення чи особливого бачення задачі. Вони вимагають підставити правильні числа в правильну формулу, і це навичка, яка ставиться за два вечори.

Порада, яка звучить примітивно, але працює: перед тим як підставляти, випишіть окремим рядком, чому дорівнює a₁, чому d, чому n. Три секунди на розмітку прибирають майже всі втрати в цій темі.

Відпрацьовувати зручно в тестах за темами, а формули тримати у флеш-картках: їх чотири, і повторювати їх треба короткими підходами. Загальну структуру математичного блоку ми описали тут, а найчастіші помилки зібрали тут.

Основа, на якій усе тримається, це дії зі степенями: про них є окремий матеріал. Повний перелік тем, які просіли на нашому вересневому пробному, лежить тут.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Структура тесту звірена з документами УЦОЯО, приклади помилок узяті з розборів на заняттях.

Оновлено 3 жовтня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату офіційно не визначені.