Степінь і його властивості: усі правила з прикладами

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Степінь aⁿ це добуток n однакових множників a. Число a називають основою, n показником.

Правил тут небагато: при множенні показники додають, при діленні віднімають, при піднесенні степеня до степеня перемножують. Від'ємний показник означає обернене число, дробовий корінь. Саме на цих двох випадках плутаються найчастіше.

Що таке степінь

Степенем називають добуток однакових множників.

де а – основа степені, п – показник степені.

Властивості степеня

- парна степінь будь-якого числа не від’ємна;

- не парна степінь невід’ємного числа не від’ємна;

- не парна степінь від’ємного числа від’ємна;

- число в першій степені дорівнює цьому самому числу

- число в нульовій степені дорівнює одиниці

- при множенні степенів з однаковою основою, основа залишається, а показники додаються

- при ділені степенів з однаковою основою основа залишається, а показники віднімається

при піднесенні степеня до степеня основа залишається, а показники перемножуються

- при піднесенні до степеня добутку, треба піднести до цього степеня кожний множник

- при піднесенні до степеня дробу, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник дробу

- при зміні знака в показнику обертається основа степеня

- степінь з дробовим показником можна замінити коренем і навпаки

Від'ємний і дробовий показник

Ось ті два випадки, які збивають із пантелику найчастіше.

Від'ємний показник означає обернене число, а не від'ємне: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Тобто 2⁻³ це одна восьма, а не мінус вісім. Дробовий показник означає корінь: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Так 8^(1/3) дорівнює 2, і 4^(1/2) теж дорівнює 2.

Окремо нульовий показник: a⁰ = 1 для будь-якого a ≠ 0, а вираз 0⁰ не визначений.

Саме перехід між дробовим показником і коренем дозволяє працювати з коренями за тими самими правилами, що й зі степенями. Властивості кореня розібрані тут: Квадратні корені та формули скороченого множення.

Як швидко спростити вираз зі степенями

1. Зведіть усе до однакової основи: 8 = 2³, 27 = 3³, 0,25 = 2⁻². Після цього правила починають працювати автоматично.
2. Перепишіть корені як дробові показники, щоб вираз став однорідним.
3. Приберіть від'ємні показники, перенісши множники між чисельником і знаменником.
4. Застосуйте правила додавання, віднімання і множення показників.
5. Поверніться до звичайного запису, якщо цього вимагає формат відповіді.

Шість типових помилок зі степенями

• Вважають a⁻ⁿ від'ємним числом. Воно додатне.
• Додають показники при додаванні степенів. Правило працює лише для множення.
• Плутають −2⁴ і (−2)⁴. Без дужок у степінь підноситься лише число, а мінус залишається зовні, тому результати різні за знаком.
• «Розподіляють» степінь на суму. Для квадрата працює формула (a + b)² = a² + 2ab + b², і подвоєний добуток нікуди не зникає.
• Множать показники при множенні степенів. Показники множать лише при піднесенні степеня до степеня.
• Забувають, що основа має бути додатною для дробового показника.

Усі властивості степеня списком

• a⁰ = 1 (для a ≠ 0), a¹ = a
• aᵐ · aⁿ = a^(m+n), aᵐ : aⁿ = a^(m−n)
• (aᵐ)ⁿ = a^(m·n)
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
• (−a)ⁿ додатне при парному n і від'ємне при непарному

Нульовий показник, дужки й порівняння степенів

Чому a⁰ = 1?

Бо aⁿ : aⁿ = a^(n−n) = a⁰, а будь-яке число, поділене саме на себе, дорівнює одиниці. Для a = 0 це міркування не працює, тому 0⁰ не визначено.

Чим (−2)⁴ відрізняється від −2⁴?

Дужками. У першому випадку в степінь підноситься мінус два і результат додатний. У другому підноситься лише двійка, а мінус залишається зовні.

Як порівняти 2³⁰ і 3²⁰ без обчислень?

Зведіть до спільного показника: 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰, а 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰. Далі відповідь очевидна.

Навіщо потрібні дробові показники?

Вони дозволяють працювати з коренями за правилами степенів, і це помітно швидше, ніж перетворювати корені окремо.

Чи буде ця тема на НМТ?

Так, властивості степеня входять і в окремі завдання, і в перетворення виразів усередині складніших задач: Математика на НМТ.

Де степені трапляються найчастіше

Степені постійно трапляються всередині алгебраїчних виразів і в діях з дійсними числами, тому ці теми варто повторювати разом.

Відпрацювати тему можна в тестах за темами, формули зручно повторювати за флешкартками, повні варіанти в розділі тести НМТ. План підготовки: Підготовка до НМТ.

Розбори завдань і новини про НМТ: t.me/nmt_zno_evi.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ — testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту» — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Опубліковано 30 липня 2026 року. У вересні оновлено вступ і додано офіційні джерела.