Степінь і його властивості: усі правила з прикладами

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Степінь aⁿ це добуток n однакових множників a. Число a називають основою, n показником.

Правил тут небагато: при множенні показники додають, при діленні віднімають, при піднесенні степеня до степеня перемножують. Від'ємний показник означає обернене число, дробовий корінь. А плутанина виникає майже завжди в одних і тих самих двох місцях, і про них нижче окремо.

Що таке степінь

Степенем називають добуток однакових множників.

де а – основа степені, п – показник степені.

Властивості степеня

- парна степінь будь-якого числа не від’ємна;

- не парна степінь невід’ємного числа не від’ємна;

- не парна степінь від’ємного числа від’ємна;

- число в першій степені дорівнює цьому самому числу

- число в нульовій степені дорівнює одиниці

- при множенні степенів з однаковою основою, основа залишається, а показники додаються

- при ділені степенів з однаковою основою основа залишається, а показники віднімається

при піднесенні степеня до степеня основа залишається, а показники перемножуються

- при піднесенні до степеня добутку, треба піднести до цього степеня кожний множник

- при піднесенні до степеня дробу, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник дробу

- при зміні знака в показнику обертається основа степеня

- степінь з дробовим показником можна замінити коренем і навпаки

Від'ємний і дробовий показник

Ось ті два випадки, які збивають із пантелику найчастіше.

Від'ємний показник означає обернене число, а не від'ємне: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Тобто 2⁻³ це одна восьма, а не мінус вісім. Дробовий показник означає корінь: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Так 8^(1/3) дорівнює 2, і 4^(1/2) теж дорівнює 2.

Окремо нульовий показник: a⁰ = 1 для будь-якого a ≠ 0, а вираз 0⁰ не визначений.

Саме перехід між дробовим показником і коренем дозволяє працювати з коренями за тими самими правилами, що й зі степенями. Властивості кореня розібрані тут: Квадратні корені та формули скороченого множення.

Як швидко спростити вираз зі степенями

1. Зведіть усе до однакової основи: 8 = 2³, 27 = 3³, 0,25 = 2⁻². Після цього правила починають працювати автоматично.
2. Перепишіть корені як дробові показники, щоб вираз став однорідним.
3. Приберіть від'ємні показники, перенісши множники між чисельником і знаменником.
4. Застосуйте правила додавання, віднімання і множення показників.
5. Поверніться до звичайного запису, якщо цього вимагає формат відповіді.

Де втрачають бали

• Вважають a⁻ⁿ від'ємним числом. Воно додатне.
• Додають показники при додаванні степенів. Правило працює лише для множення.
• Плутають −2⁴ і (−2)⁴. Без дужок у степінь підноситься лише число, а мінус залишається зовні, тому результати різні за знаком.
• «Розподіляють» степінь на суму. Для квадрата працює формула (a + b)² = a² + 2ab + b², і подвоєний добуток нікуди не зникає.
• Множать показники при множенні степенів. Показники множать лише при піднесенні степеня до степеня.
• Забувають, що основа має бути додатною для дробового показника.

Коротко для повторення

• a⁰ = 1 (для a ≠ 0), a¹ = a
• aᵐ · aⁿ = a^(m+n), aᵐ : aⁿ = a^(m−n)
• (aᵐ)ⁿ = a^(m·n)
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
• (−a)ⁿ додатне при парному n і від'ємне при непарному

Часті питання

Чому a⁰ = 1?

Бо aⁿ : aⁿ = a^(n−n) = a⁰, а будь-яке число, поділене саме на себе, дорівнює одиниці. Для a = 0 це міркування не працює, тому 0⁰ не визначено.

Чим (−2)⁴ відрізняється від −2⁴?

Дужками. У першому випадку в степінь підноситься мінус два і результат додатний. У другому підноситься лише двійка, а мінус залишається зовні.

Як порівняти 2³⁰ і 3²⁰ без обчислень?

Зведіть до спільного показника: 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰, а 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰. Далі відповідь очевидна.

Навіщо потрібні дробові показники?

Вони дозволяють працювати з коренями за правилами степенів, і це помітно швидше, ніж перетворювати корені окремо.

Чи буде ця тема на НМТ?

Так, властивості степеня входять і в окремі завдання, і в перетворення виразів усередині складніших задач: Математика на НМТ.

Суміжні теми

Квадратні корені, алгебраїчні вирази, дії з дійсними числами, рівняння.

Відпрацювати тему можна в тестах за темами, формули зручно повторювати за флешкартками, повні варіанти в розділі тести НМТ. План підготовки: Підготовка до НМТ.

Розбори завдань і новини про НМТ: t.me/nmt_zno_evi.

Про автора

Андрій Стулішенко, кандидат технічних наук, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Матеріал оновлено 20 вересня 2026 року.