Алгебраїчні вирази: спрощення, розкладання на множники, дроби

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Алгебраїчний вираз це запис із чисел, змінних і знаків дій. Спростити його означає звести до найкоротшого рівносильного вигляду: звести подібні доданки, розкласти на множники, скоротити дріб.

І одразу про головне обмеження, яке забувають частіше за все: область допустимих значень. Знаменник не дорівнює нулю, підкореневий вираз невід'ємний. ОДЗ записують до перетворень, а не після них, і на тесті саме це вирішує половину завдань теми.

Види алгебраїчних виразів

Алгебраїчні вирази. Спрощення дробово-раціональних виразів .

Алгебраїчні вирази із змінними.

раціональні:

дробово-раціональні:

ірраціональні:

Числове значення із змінними: при підстановці заданих значеннях букв у вираз утворюється числове значення:

Область допустимих значень

 ОДЗ:

- знаменник не дорівнює 0;

- підкореневий вираз невід’ємний.

Одночленом називають добуток, що складається з числового множника, який називається коефіцієнтом, і натуральних степенів чисел, позначених буквами.

Степенем одночлена називають суму всіх показників степенів букв.

Одночлени та дії з ними

Сума декількох подібних одночленів дорівнює одночлену, що подібний даному , з коефіцієнтом, що дорівнює сумі коефіцієнтів доданків.

Множення.

Щоб помножити декілька одночленів , треба перемножити їх коефіцієнти, а показники однакових букв додати.

Піднесення до степеня.

Щоб піднести одночлен до степеня, треба до цього степеня піднести кожний множник.

Ділення.

Щоб поділити декілька одночленів, треба поділити їх коефіцієнти, а показники однакових букв відняти.

Многочлени

Степенем многочлена називається найвища степінь одночлена, що входить вданий многочлен, записаний в стандартному вигляді (у вигляді суми попарно неподібних одночленів).

Додавання і віднімання многочленів. Щоб додати або відняти многочлени, треба розкрити дужки і звести подібні доданки.

Множення многочленів. Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена, і знайдені добутки додати.

Розкладання на множники

Винесення спільного множника за дужку.

Спосіб групування. Розкладання на множники в декілька етапів.

Використання формул скороченого множення.

Розкладання квадратного тричлена на множники.

де х_1, х₂ – корені квадратного рівняння

за дискримінантом 

Для зведеного квадратного рівнння

за теоремою Вієта

Використання метода розкладання на множники.

-     скорочення дробів при множенні та діленні дробів;

-     знаходження спільного знаменника при додаванні і відніманні дробів;

-     розв’язування рівнянь типу: Р(х)=о, де Р(х) – многочлен. 

Алгебраїчний дріб і скорочення

Алгебраїчним раціональним дробом називається відношення многочленів.

Скороченням дробу називається ділення чисельника та знаменника на їх спільний дільник.

 Приклад

Спростити вираз: 

Розв’язок:

Дії над алгебраїчними дробами

Додавання, віднімання, множення , ділення.(за правилами цих дій над числовими звичайними дробами)

Приклад:

Спростити вираз: 

Розв’язок:

Виконати дії над алгебраїчними дробами:

Виконати дії над алгебраїчними дробами, що містять корені:

Формули скороченого множення

Це той мінімум, який має згадуватися миттєво. Без нього розкладання на множники перетворюється на перебір, а перебір на тесті означає втрачений час.

• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Зверніть увагу на те, чого в списку немає. Сума квадратів a² + b² на множники не розкладається, і саме її найчастіше намагаються «розкласти» за неіснуючою формулою.

Порядок дій при спрощенні

Спершу запишіть ОДЗ, до всіх перетворень, а не після. Потім розкрийте дужки і зведіть подібні доданки. Далі чисельник і знаменник треба розкласти на множники: винесенням, групуванням, формулами скороченого множення або через корені квадратного тричлена, і скоротити дріб на спільний множник. Після цього виконуються дії: додавання через спільний знаменник, ділення через множення на обернений дріб. Останній крок: перевірити, чи не суперечить результат ОДЗ.

Скорочують доданки замість множників і ще п'ять помилок

Найчастіша помилка теми одна й та сама з року в рік: скорочують доданки замість множників. У дробі, де в чисельнику сума, скоротити спільну літеру не можна. Там, де добуток, можна.

Решта п'ять коротші. Намагаються «розкласти» a² + b², а такої формули немає. Забувають ОДЗ, хоча після скорочення дробу обмеження залишається: якщо знаменник обнулявся при x = 2, це значення не входить у відповідь і після скорочення. Гублять знак при розкритті дужок із мінусом. Помиляються в середньому члені квадрата суми, бо подвоєний добуток губиться найлегше. І додають дроби навхрест без спільного знаменника.

ОДЗ, подібні доданки й розкладання коротко

ОДЗ: знаменник не нуль, підкореневий вираз невід'ємний для кореня парного степеня. Подібні доданки це ті, що мають однакову буквену частину. Скорочувати можна лише спільні множники.

Порядок розкладання на множники майже завжди один і той самий: винесення спільного множника, далі групування, далі формули скороченого множення, і вже потім через корені тричлена, бо ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Ділення на дріб це множення на обернений. Степінь многочлена це найбільший степінь його одночленів.

Навіщо ОДЗ, якщо дріб скорочується, та інші питання

Навіщо записувати ОДЗ, якщо дріб потім скорочується?

Бо обмеження залишається. Вираз (x² − 4)/(x − 2) після скорочення дорівнює x + 2, але при x = 2 початковий вираз не визначений. Саме це й перевіряють у завданнях.

З чого починати розкладання на множники?

Завжди з винесення спільного множника. Далі дивіться, чи не підходить формула скороченого множення, і лише потім пробуйте групування.

Як розкласти квадратний тричлен, якщо корені некрасиві?

Формула працює й для ірраціональних коренів. Якщо дискримінант від'ємний, над дійсними числами тричлен на множники не розкладається.

Чим одночлен відрізняється від многочлена?

Одночлен це добуток чисел і змінних. Многочлен це сума кількох одночленів.

Чи потрібна ця тема на НМТ?

Так, і не лише окремими завданнями. Спрощення виразів входить майже в кожне складніше завдання: Математика на НМТ.

Що повторити разом із виразами

Формули скороченого множення докладніше розібрані разом із квадратними коренями, а правила для показників зібрані в статті степінь та його властивості. Обчислення без змінних тренуються в темі дії з дійсними числами.

Найкраща перевірка для цієї теми не тест, а дріб, який треба скоротити без підказки. Таких прикладів досить у тестах за темами. Формули скороченого множення тримайте під рукою у флешкартках, доки вони не згадуються самі, а повний варіант у форматі НМТ є в розділі тести НМТ. Про те, скільки часу відвести на вирази в загальному плані, є в статті Підготовка до НМТ.

Розбори завдань на вирази з пробних НМТ і новини про тест публікуємо в телеграмі: t.me/nmt_zno_evi.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Опубліковано 1 серпня 2026 року.