Задачі на тіла обертання: майже всі розв'язуються в осьовому перерізі

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Майже будь-яку шкільну задачу про циліндр, конус чи кулю розв'язують на площині. Осьовий переріз циліндра це прямокутник зі сторонами 2r і h, конуса рівнобедрений трикутник з основою 2r, висотою h і бічними сторонами, що дорівнюють твірній, кулі круг радіуса R. Як тільки задачу переведено в переріз, лишаються теорема Піфагора, прямокутний трикутник і формули з довідника.

На нашому пробному НМТ 19 вересня було завдання саме на цю навичку: на рисунку прямокутний рівнобедрений трикутник, і треба вибрати тіло, осьовим перерізом якого він є. Правильно відповіли 41,5 % учасників, ще 27,9 % пропустили завдання. Жодних обчислень там не було, лише розуміння, що таке осьовий переріз.

Ця стаття є продовженням статті з формулами циліндра, конуса й кулі. Тут формули ті самі, а головне сім типових задач і те, як до кожної підступитися. Одне уточнення термінів, у якому помиляються навіть дорослі. Сфера утворюється обертанням півкола навколо його діаметра, а куля обертанням півкруга, тобто частини площини, обмеженої півколом і діаметром. Сфера це поверхня, куля це тіло.

Задача 1. Осьовий переріз циліндра квадрат

Осьовий переріз циліндра квадрат площею 64 см². Знайдіть об'єм і площу бічної поверхні циліндра.

Сторона квадрата 8 см. Одна сторона перерізу дорівнює діаметру, друга висоті, тож радіус 4 см, а висота 8 см. Слово «квадрат» в умові щоразу означає, що висота циліндра дорівнює діаметру, і з цього задача починається.

Задача 2. Прямокутник обертають навколо сторони

Прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см обертають спершу навколо більшої сторони, потім навколо меншої. Знайдіть об'єми обох циліндрів.

Сторона, навколо якої обертають, стає висотою, а інша сторона радіусом. Результат трохи несподіваний: навколо коротшої сторони виходить більший об'єм, бо в формулу радіус входить у квадраті, а висота в першому степені.

Задача 3. Прямокутний трикутник навколо катета й навколо гіпотенузи

Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертають навколо кожного з катетів, а потім навколо гіпотенузи. Знайдіть об'єми тіл.

Навколо катета виходить конус: катет-вісь стає висотою, другий катет радіусом основи. Навколо гіпотенузи виходять два конуси, складені основами. Радіус їхньої спільної основи дорівнює висоті трикутника, проведеній до гіпотенузи, а сума висот конусів дорівнює гіпотенузі. Висоту до гіпотенузи зручно знайти через площу: добуток катетів дорівнює добутку гіпотенузи на цю висоту.

Задача 4. Твірна і кут нахилу

Твірна конуса 10 см і нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть об'єм і площу бічної поверхні конуса.

Половина осьового перерізу тут прямокутний трикутник з гіпотенузою 10 см, тобто твірною. Висота лежить навпроти кута 30°, тому дорівнює половині твірної, а радіус знаходимо через косинус.

Задача 5. Розгортка конуса

Радіус основи конуса 3 см, твірна 9 см. Знайдіть кут розгортки бічної поверхні і площу бічної поверхні.

Розгортка бічної поверхні конуса це сектор круга, радіус якого дорівнює твірній, а довжина дуги дорівнює довжині кола основи. Звідси зручна формула для кута, у якій стоїть лише відношення радіуса до твірної. Корисний наслідок: якщо твірна втричі довша за радіус, кут завжди 120°, незалежно від розмірів конуса.

Задача 6. Переріз кулі площиною

Кулю радіуса 13 см перетнули площиною на відстані 5 см від центра. Знайдіть площу перерізу.

Будь-який переріз кулі площиною є кругом. Його центр, центр кулі і будь-яка точка на межі перерізу утворюють прямокутний трикутник, у якому гіпотенуза дорівнює радіусу кулі.

Задача 7. Та сама, що була на пробному НМТ

Осьовий переріз якого тіла зображено на рисунку, якщо це прямокутний рівнобедрений трикутник? Варіанти: конус, у якого радіус основи дорівнює висоті; конус, у якого радіус дорівнює твірній; циліндр, у якого радіус дорівнює висоті; циліндр, у якого діаметр дорівнює твірній; куля.

Трикутник може бути перерізом лише конуса, тож циліндри й куля відпадають одразу. Прямий кут лежить при вершині конуса, кути при основі по 45°, тому висота, проведена з вершини, дорівнює половині основи, тобто радіусу. Правильна відповідь: конус, у якого радіус основи дорівнює висоті. Варіант «радіус дорівнює твірній» неможливий взагалі, бо твірна завжди довша за радіус.

Помилки, які варто знати заздалегідь

Найчастіше плутають радіус і діаметр: у циліндрі з квадратним осьовим перерізом висота дорівнює діаметру, а не радіусу. Друге місце посідає твірна, яку беруть за висоту конуса. Третє вісь обертання: сторона, навколо якої обертають, стає висотою, а не радіусом. Четверте термінологія: куля і сфера, круг і коло, про це вже йшлося вище. І п'яте розгортка: її кут рахують у градусах через відношення радіуса до твірної, а не через довжину самої твірної.

12 задач для самоперевірки

Для кожної спершу намалюйте осьовий переріз. Відповіді на картинці, π залишено у відповідях.

1. Осьовий переріз циліндра квадрат зі стороною 6 см. Знайдіть об'єм циліндра.

2. Прямокутник зі сторонами 4 см і 6 см обертають навколо сторони 6 см. Знайдіть об'єм тіла обертання.

3. Той самий прямокутник обертають навколо сторони 4 см. Знайдіть об'єм.

4. Прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см обертають навколо катета 8 см. Знайдіть об'єм конуса.

5. Осьовий переріз конуса рівносторонній трикутник зі стороною 10 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

6. Твірна конуса 13 см, радіус основи 5 см. Знайдіть об'єм конуса.

7. Радіус основи конуса 4 см, твірна 12 см. Знайдіть кут розгортки бічної поверхні.

8. Радіус кулі 10 см, площина перетинає її на відстані 6 см від центра. Знайдіть площу перерізу.

9. Площа сфери 36π см². Знайдіть об'єм кулі, обмеженої цією сферою.

10. Прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см обертають навколо гіпотенузи. Знайдіть об'єм тіла обертання.

11. Радіус основи циліндра 2 см, площа осьового перерізу 40 см². Знайдіть площу бічної поверхні.

12. Півкруг радіуса 3 см обертають навколо його діаметра. Яке тіло утвориться і який у нього об'єм?

Відповіді

Об'єми в кубічних сантиметрах, площі в квадратних. У дванадцятій утворюється куля. В одинадцятій зверніть увагу на закономірність: площа бічної поверхні циліндра завжди дорівнює площі осьового перерізу, помноженій на π, бо обидві виражаються через добуток діаметра й висоти.

Де потренуватися

На сайті є безкоштовні тести за темами «Циліндр» на 29 завдань, «Конус» на 23 і «Сфера і куля» на 11, а також PDF-набори «Циліндр», «Конус» і «Сфера і куля».

Усі формули об'ємів разом з тим, як вони змінюються при зміні розмірів, зібрано в статті про формули об'ємів тіл, а загальні підходи до стереометрії на тесті в статті про стереометрію на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Результат завдання про осьовий переріз узято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, формули звірено з довідковими матеріалами УЦОЯО, відповіді до задач перераховано окремо.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 20 жовтня 2026 року. Тіла обертання входять до чинної програми з математики; модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.