Середнє, медіана й мода: медіану рахують неправильно, бо забувають упорядкувати ряд

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Середнє значення ряду чисел дорівнює їхній сумі, поділеній на кількість. Медіана це число, яке стоїть посередині ряду, упорядкованого за зростанням, а якщо чисел парна кількість, то півсума двох середніх. Мода це значення, яке трапляється найчастіше, і їх може бути кілька або жодної. Розмах дорівнює різниці між найбільшим і найменшим значенням.

Жодного з цих означень у довіднику НМТ немає, тож їх треба знати напам'ять. А найчастіша помилка в темі навіть не в означеннях: медіану шукають у неупорядкованому ряду і беруть те число, яке просто стоїть посередині запису. Відповідь виходить правдоподібною, і помилку не видно.

Один ряд, чотири числа

Візьмемо оцінки учня за місяць: 7, 10, 8, 7, 12, 9, 7, 11. Перше, що варто зробити з будь-яким рядом, упорядкувати його. Після цього всі чотири характеристики знаходяться за хвилину.

Середнє тут дорівнює 8,875, медіана 8,5, мода 7, розмах 5. Зверніть увагу, що жодна з трьох «середніх» величин не збігається з іншими. Це нормально: вони відповідають на різні питання. Середнє показує, скільки припадало б на кожного, якби все поділили порівну, медіана ділить ряд навпіл, а мода показує найтиповіше значення.

Чому медіана і середнє розходяться

У невеликій фірмі п'ятеро працівників отримують по 20 000 грн, а директор 200 000 грн. Середня зарплата в цій фірмі 50 000 грн, хоча так багато не отримує жоден з п'ятьох. Медіана 20 000 грн, і вона значно чесніше описує, скільки заробляє типовий працівник.

Медіана майже не реагує на одне дуже велике чи дуже мале значення, а середнє реагує сильно. Тому, коли в новинах пишуть про «середню зарплату» в галузі, я завжди шукаю поруч медіану. Якщо її не наводять, до цифри варто ставитися обережно. Для НМТ з цього корисний висновок: якщо в ряд додали одне аномальне число, медіана зміниться мало, а середнє помітно.

Коли дано частотну таблицю

Часто ряд задають не переліком, а таблицею: скільки разів трапилося кожне значення. Наприклад, контрольну написали 10 учнів: троє отримали 8 балів, п'ятеро 10, двоє 12. Для середнього кожне значення множать на його частоту, додають і ділять на загальну кількість. Медіану шукають так само, як у звичайному ряду, просто уявивши всі значення виписаними підряд.

Як змінюється середнє

Кілька властивостей економлять час у задачах, де ряд не дано повністю. Якщо до кожного числа додати однакове число, середнє збільшиться на нього ж. Якщо кожне число помножити на однакове число, середнє теж помножиться. А сума чисел завжди дорівнює середньому, помноженому на кількість, і через це розв'язуються задачі «яке число додали».

Середнє чотирьох чисел 15, після додавання п'ятого воно стало 16. Сума спершу була 60, потім 80, отже додали 20. Рахувати самі числа не потрібно.

Діаграми на НМТ

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 перше завдання було саме про діаграму: стовпчики показували кількість глядачів у п'яти кінозалах, і треба було знайти різницю між двома з них. Такі завдання здаються подарунком, але бали на них теж губляться, коли неуважно читають шкалу. Перед відповіддю варто перевірити, з якого числа починається вісь і яка ціна поділки.

На нашому пробному НМТ 19 вересня середнє арифметичне знадобилося в задачі про бюджет трьох проєктів. Кошти на один проєкт дорівнювали середньому арифметичному двох інших, і в умові ще була пастка з відсотками. Правильну відповідь дали 29,1 % учасників, 37,1 % задачу пропустили. Кругові діаграми часто поєднують з ймовірністю, про це є окрема стаття про класичну ймовірність.

Найчастіші помилки

Медіану шукають без упорядкування. У ряду з парною кількістю чисел за медіану беруть одне з двох середніх чисел замість їхньої півсуми. Моду плутають із найбільшим значенням. У частотній таблиці середнє рахують як середнє самих значень, забуваючи про частоти. І розмах записують як найбільше значення, забувши відняти найменше.

12 задач для самоперевірки

Спершу впорядкуйте ряд, потім рахуйте. Відповіді на картинці.

1. Знайдіть середнє значення ряду 3, 7, 5, 9, 6.

2. Знайдіть медіану того самого ряду.

3. Знайдіть моду ряду 4, 8, 6, 8, 3, 8, 5.

4. Знайдіть медіану ряду 12, 5, 9, 14, 7, 10.

5. Знайдіть розмах ряду 15, 3, 22, 8, 17.

6. Середнє значення п'яти чисел дорівнює 12. Знайдіть їхню суму.

7. Середнє чотирьох чисел 10. Коли додали п'яте число, середнє стало 12. Яке число додали?

8. Кожне число ряду збільшили на 3. Як змінилося середнє значення?

9. Оцінку 9 отримали 4 учні, оцінку 10 п'ятеро, оцінку 11 один учень. Знайдіть середню оцінку.

10. Знайдіть моду ряду 2, 2, 3, 3, 4.

11. Четверо працівників отримують по 15 тис. грн, а керівник 65 тис. грн. Знайдіть середню зарплату й медіану.

12. Середній зріст п'ятьох баскетболістів 190 см. Гравця зростом 182 см замінили гравцем зростом 197 см. Яким став середній зріст?

Відповіді

У десятій задачі дві моди, бо числа 2 і 3 трапляються однаково часто. У дванадцятій не треба знати зріст кожного гравця: сума зросла на 15 см, отже середнє на 3 см.

Де потренуватися

Безкоштовний тест «Ймовірність і статистика» у розділі НМТ за темами містить 76 завдань. Означення зручно повторювати за колодою флешкарток «Ймовірність і статистика», а для роботи на папері є PDF-набір з цієї теми.

Задачі на середнє часто переплітаються з відсотками, і пастки там ті самі, що ми розбирали в статті про текстові задачі на НМТ. Що з формул є в довіднику, а що ні, зібрано в статті про довідник НМТ з математики.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Означення звірено з програмою з математики, опис завдання з діаграмою взято з демонстраційного варіанта НМТ-2026, результат задачі про бюджет з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року.

Офіційні джерела

• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 17 жовтня 2026 року. Вибіркові характеристики входять до чинної програми з математики; модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.