Що вчити напам'ять, якщо на НМТ з математики дають довідник

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Так, на НМТ з математики дають довідник. УЦОЯО пише про це прямо: кожен учасник може користуватися довідковими матеріалами в електронній формі та паперовою чернеткою. У довіднику є таблиця квадратів, формули алгебри й тригонометрії, похідні, первісні, площі, об'єми, координати й вектори. Тож зубрити все це немає сенсу. Напам'ять треба знати те, чого в довіднику немає, а такого теж чимало: теорема Вієта, сума кубів, котангенс, формули додавання, рівняння дотичної, сума кутів многокутника, вписаний кут, правило трикутника для векторів.

І ще одне, важливіше. Формула в довіднику не гарантує бала. На нашому пробному НМТ 19 вересня інтеграл, для якого вся таблиця первісних лежала перед очима, правильно порахували 9,9 % учасників.

Що лежить у довіднику

Файл займає дві сторінки. Його варто один раз уважно прочитати ще вдома, щоб на тесті не шукати, а одразу відкривати потрібне місце. На сторінці НМТ-2026 з математики УЦОЯО дає посилання на той самий файл довідкових матеріалів, що й у попередні роки.

В алгебрі там таблиця квадратів чисел від 10 до 49, три формули скороченого множення (квадрат суми, квадрат різниці й різниця квадратів), квадратне рівняння з дискримінантом і розкладом на множники, означення модуля, властивості степенів і логарифмів, n-й член і сума арифметичної та геометричної прогресій. Є перестановки, розміщення, комбінації і класична ймовірність P(A) = k/n.

У тригонометрії є основна тотожність, тангенс як відношення синуса до косинуса, 1 + tg²α = 1/cos²α, синус і косинус подвійного кута, формули для кутів 90° + α і 180° − α. Таблиця значень охоплює 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° і 360°.

З аналізу дано таблицю похідних (зокрема для eˣ, ln x, sin x, cos x і tg x), правила похідної суми, добутку й частки, таблицю первісних і формулу Ньютона-Лейбніца.

У геометрії є три формули площі трикутника (через висоту, через синус кута й формула Герона), теореми синусів і косинусів, теорема Піфагора, площі прямокутника, паралелограма, ромба й трапеції, довжина й площа кола, рівняння кола. Для тіл дано об'єми й бічні поверхні призми, піраміди, циліндра й конуса, об'єм і площу поверхні кулі. Наостанок координати середини відрізка, координати й довжина вектора та скалярний добуток.

Чого в довіднику немає

Нижче те, що доведеться тримати в голові. Це не прогноз «точно буде на тесті». Це перелік місць, де довідник вам не допоможе, якщо таке завдання трапиться.

Почнемо з алгебри.

• Сума й різниця кубів: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) і a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
• Теорема Вієта: x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a. З нею корені зведеного рівняння часто видно без дискримінанта.
• Відсотки. Збільшити число на p % означає помножити його на (1 + p/100), а кілька змін поспіль перемножуються, а не додаються.
• Модуль. У довіднику лише означення, а розв'язувати |x| = a чи |x| < a доведеться самому.
• Перехід до нової основи логарифма: logₐ b = logₖ b / logₖ a. І пам'ятати, що логарифм існує тільки для додатного числа.
• Середнє значення вибірки: сума всіх значень, поділена на їх кількість.
• Ймовірність протилежної події дорівнює 1 − P(A).

У тригонометрії найбільша діра стосується котангенса. Його в довіднику немає зовсім: ні означення, ні значень, ні тотожності 1 + ctg²α = 1/sin²α. Далі за списком.

• Формули додавання: sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β і cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β.
• Інші записи косинуса подвійного кута: 1 − 2sin²α і 2cos²α − 1. Їх можна вивести з того, що є, але на тесті на це йде час.
• Формули зведення для інших кутів, наприклад 90° − α або 270° + α.
• Розв'язки найпростіших рівнянь: для sin x = a це x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, для cos x = a це x = ±arccos a + 2πn, для tg x = a це x = arctg a + πn.

З похідної в довіднику немає трьох речей, які часто трапляються разом. Це похідна складеної функції, наприклад (sin 3x)′ = 3cos 3x, рівняння дотичної y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) і фізичний зміст похідної, за яким швидкість є похідною від координати за часом.

Найдовший список у геометрії.

• Сума кутів опуклого n-кутника: 180°(n − 2).
• Площа трикутника через радіуси вписаного й описаного кіл: S = pr і S = abc/(4R).
• У прямокутному трикутнику катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи, і медіана, проведена до гіпотенузи, теж дорівнює її половині.
• Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.
• Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, а середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ.
• Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу, а кут, що спирається на діаметр, прямий.
• Довжина дуги й площа сектора.
• Діагональ прямокутного паралелепіпеда: d² = a² + b² + c².
• Повна поверхня тіла. У довіднику дано тільки бічну, площі основ треба додати самостійно.

І три речі з координат і векторів. Правило трикутника, за яким вектор AB плюс вектор BC дорівнює вектору AC. Умови перпендикулярності (скалярний добуток дорівнює нулю) і колінеарності (координати пропорційні). Рівняння прямої y = kx + b.

Формула є, а задачу не розв'язали

Найцікавіше в нашому пробному НМТ 19 вересня навіть не поріг, а те, на чому саме зупинялися учасники. Тест дописали 1796 людей. Ось чотири завдання, для яких потрібна формула лежала в довіднику.

Інтеграл. Під знаком інтеграла стояв дріб, чисельник якого після винесення спільного множника збігається зі знаменником, тож увесь дріб дорівнює сталій. Таблиця первісних тут навіть не потрібна. Правильно розв'язали 9,9 %, помилилися 47,4 %, ще 42,8 % не дали відповіді.

Вектори. Треба було знайти довжину суми векторів AB і BC за точками на координатній сітці. Формула довжини вектора є в довіднику, а правила трикутника, за яким ця сума дорівнює вектору AC, немає. Правильну відповідь дали 25,2 %, неправильну 46,4 %. Серед тих, хто відповідав, помилилися двоє з трьох. Показово, що серед варіантів була і сума довжин двох векторів, яка до довжини їхньої суми не має стосунку.

Вирази за умови a < 0. Треба було узгодити три вирази з модулем, логарифмом і дробом з тотожно рівними їм. Означення модуля й властивості логарифмів лежали в довіднику. Усі три пари правильно склали 18,4 %.

Призма. Задача про шухляду подарункової коробки зводилася до формули V = S·H, яка теж є в довіднику. Розв'язали 6,1 %.

Частки порахували від усіх 1796 учасників, які дописали тест. Приблизно чверть із них не відповіла навіть на перші завдання з математики, тож серед тих, хто брався за задачу, результат кращий. Але картина та сама: бракувало не формули, а кроку до неї. Скоротити дріб перед інтегруванням, помітити правило трикутника, правильно розкрити модуль при від'ємному a, перекласти малюнок коробки в рівняння.

Офіційні дані кажуть те саме. За звітом УЦОЯО про НМТ-2026 завдання на формулу скороченого множення, яка теж є в довіднику, виконали 43,2 % учасників. Більше прикладів у нашому розборі цього звіту.

Як працювати з довідником на тесті

Довідник електронний, тож кожне відкриття забирає кілька секунд і збиває з думки. Тому корисно знати заздалегідь, що де лежить, і мати в запасі кілька прийомів.

Таблиця квадратів від 10 до 49 працює і як таблиця коренів: √1849 = 43, бо 43² = 1849. На ірраціональних рівняннях і теоремі Піфагора це економить хвилини.

У таблиці тригонометричних значень немає 120°, 135° і 150°. Їх отримують через формулу для 180° − α, яка в довіднику є: sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 150° = −cos 30°.

Для повної поверхні циліндра чи конуса беріть з довідника бічну поверхню і додавайте площі основ. А формула довжини вектора водночас є формулою відстані між двома точками, окремо її шукати не треба.

Що б я робив на місці учня

Я б не витратив жодної години на зубріння формул, які є в довіднику. Звучить дивно, але краще за всіх довідником користуються ті, хто майже в нього не заглядає. Вони знають, що там лежить, і відкривають його лише щоб звірити знак чи коефіцієнт.

Ці години я б віддав двом речам. Перша: перелік вище, його реально вивчити за кілька вечорів. Друга: задачі, у яких формула відома, а хід треба побачити самому. Саме на них, як показують і наш пробний, і звіт УЦОЯО, губиться найбільше балів.

Для першого зручно користуватися нашими флеш-картками, для другого тестами НМТ за темами. Про найважчі розділи ми писали окремо: про тригонометрію, похідну та інтеграл і вектори й координати. Загальні підсумки пробного НМТ зібрано в окремому матеріалі.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до зовнішнього оцінювання з 2016 року. Вміст довідника звірено з файлом довідкових матеріалів на сайті УЦОЯО, статистику завдань узято з нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, яке дописали 1796 учасників.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, НМТ-2026 з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 27 вересня 2026 року. Склад довідкових матеріалів для НМТ-2027 на цю дату не оголошено; для НМТ-2026 УЦОЯО давав посилання на файл, наведений у джерелах.