Формули призми: об'єм, площа поверхні, діагональ і 12 задач з відповідями

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Об'єм будь-якої призми дорівнює площі основи, помноженій на висоту. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює периметру основи, помноженому на висоту, а площа повної поверхні це бічна поверхня плюс дві основи. Для прямокутного паралелепіпеда квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Цих чотирьох формул вистачає майже на всі задачі про призму в школі й на НМТ.

Складність не у формулах. На НМТ-2026 формули об'єму й бічної поверхні призми лежали перед учасниками в довіднику, а задачу, де об'єм призми можна було знайти лише після того, як за пірамідою відновили діагоналі ромба в основі, розв'язали 11 % учасників. На нашому пробному НМТ 19 вересня 2026 року задачу про призму розв'язали 6,1 % із 1796 учасників, і це найгірший результат серед усіх тем тесту. В обох випадках ламалися не на формулі, а на тому, що саме підставити замість площі основи й висоти.

Що таке призма і з чого вона складається

Призма це многогранник, у якого дві грані, основи, є рівними многокутниками в паралельних площинах, а всі інші грані, бічні, паралелограми. Відрізки, що з'єднують відповідні вершини основ, називають бічними ребрами, вони рівні й паралельні. Висота призми це відстань між площинами основ.

Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, призма пряма: бічні грані в неї прямокутники, а висота дорівнює бічному ребру. Інакше призма похила, і висота коротша за ребро. Правильна призма це пряма призма, в основі якої правильний многокутник. Призму з паралелограмом в основі називають паралелепіпедом, прямий паралелепіпед з прямокутником в основі прямокутним паралелепіпедом, а прямокутний паралелепіпед з рівними ребрами кубом.

І відповідь на питання, яке часто шукають окремо. У n-кутної призми n + 2 граней, 3n ребер і 2n вершин. Трикутна призма має 5 граней, 9 ребер і 6 вершин, шестикутна 8 граней, 18 ребер і 12 вершин.

Ліворуч пряма трикутна призма, у якої висота збігається з бічним ребром. Праворуч похила: висоту h опускають перпендикулярно до основи, і вона коротша за бічне ребро l.

Формули об'єму й площі поверхні призми

Позначення стандартні: S_осн площа основи, P_осн периметр основи, h висота, S_б площа бічної поверхні, S_п площа повної поверхні, V об'єм. Тоді V = S_осн · h, для прямої призми S_б = P_осн · h, а для будь-якої S_п = S_б + 2S_осн.

Формула об'єму однакова для прямої й похилої призми, різниця лише в тому, що в похилій висота не дорівнює ребру. Формула бічної поверхні через периметр працює тільки для прямої призми, бо лише там бічні грані прямокутники заввишки h. У похилій призмі площу кожної бічної грані рахують окремо як площу паралелограма.

Повної поверхні в довіднику НМТ немає, там дано тільки бічну, тому дві площі основи треба додати самостійно. Немає там і площ правильного трикутника й шестикутника, і формули діагоналі прямокутного паралелепіпеда. Про те, що ще доведеться пам'ятати без довідника, ми писали окремо.

Паралелепіпед, куб і правильні призми

Для найуживаніших призм формули варто знати в готовому вигляді. У прямокутного паралелепіпеда з вимірами a, b і c об'єм дорівнює добутку трьох вимірів, а діагональ шукають двома теоремами Піфагора поспіль: спершу діагональ основи, потім гіпотенузу трикутника з цією діагоналлю й висотою. Для правильних призм уся складність у площі основи, яка залежить від того, трикутник там, квадрат чи шестикутник.

Площу правильного шестикутника легко вивести самостійно: він складається з шести правильних трикутників зі стороною a, тому його площа вшестеро більша за площу одного такого трикутника.

Три приклади з розв'язанням

Приклад 1. Сторона основи правильної трикутної призми 6 см, висота 10 см. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні.

Площа правильного трикутника тут головний крок. Якщо помилково взяти a², як для квадрата, об'єм вийде 360 замість 90√3, і таке число в тестах часто ставлять серед варіантів відповіді.

Приклад 2. Виміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см і 12 см. Знайдіть діагональ, об'єм і площу повної поверхні.

Приклад 3. Сторона основи правильної чотирикутної призми 4 см, а діагональ призми 9 см. Знайдіть висоту й об'єм.

Тут працює той самий прямокутний трикутник, що й у прикладі 2: діагональ основи, висота й діагональ призми. Майже кожна задача про діагоналі призми зводиться до нього.

Задача з пробного НМТ, яку розв'язали 6,1 %

На пробному НМТ 19 вересня була задача про шухляду подарункової коробки. Шухляда складається з правильної чотирикутної призми з квадратом ABCD в основі й двох однакових прямокутних паралелепіпедів з основами CLMK і KMPD, об'єм кожного 61,25 см³. Висота шухляди дорівнює CL, а периметр прямокутника ABLP на 30 см більший за периметр CLMK. Треба знайти об'єм усієї шухляди.

Правильну відповідь дали 6,1 % учасників, 44,9 % задачу пропустили. Формула тут одна, об'єм дорівнює площі основи на висоту. Складність у тому, щоб позначити невідомі на рисунку й скласти рівняння.

Зверніть увагу, що в рівнянні з периметрів x скоротився. Це улюблений прийом укладачів: невідомих дві, але різниця периметрів залежить лише від однієї з них, і задача розпадається на два прості кроки.

Помилки, за яких хід правильний, а число ні

Перша: у похилій призмі за висоту беруть бічне ребро. Висота це перпендикуляр до основи, і якщо ребро нахилене під кутом, висоту знаходять через синус цього кута. Друга: у повній поверхні рахують одну основу замість двох. Третя: площу правильного трикутника рахують як a² або як половину a². Четверта: плутають діагональ основи з діагоналлю призми. П'ята стосується одиниць: якщо ребра дано в сантиметрах, а відповідь просять у кубічних дециметрах, ділити треба на тисячу, а не на десять.

12 задач для самоперевірки

Відповіді після задач. Якщо у відповіді корінь, так його й залишайте.

1. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2 см, 3 см і 6 см. Знайдіть його об'єм і діагональ.

2. Ребро куба 5 см. Знайдіть площу повної поверхні куба.

3. Діагональ куба дорівнює 6√3 см. Знайдіть об'єм куба.

4. Основа прямої призми прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, висота призми 10 см. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні.

5. Сторона основи правильної чотирикутної призми 3 см, висота 5 см. Знайдіть площу бічної поверхні.

6. Сторона основи правильної трикутної призми 4 см, бічне ребро 7 см. Знайдіть об'єм.

7. Сторона основи правильної шестикутної призми 2 см, висота 5 см. Знайдіть об'єм.

8. Об'єм правильної чотирикутної призми 72 см³, висота 8 см. Знайдіть сторону основи.

9. Сторона основи правильної чотирикутної призми 6 см, а діагональ призми 11 см. Знайдіть висоту й об'єм.

10. Площа основи похилої призми 12 см², бічне ребро 10 см нахилене до площини основи під кутом 30°. Знайдіть об'єм.

11. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, дорівнюють 6 см², 10 см² і 15 см². Знайдіть об'єм.

12. Сторона основи правильної чотирикутної призми 4√2 см, а площа її діагонального перерізу 40 см². Знайдіть об'єм.

Відповіді до задач

1) 36 см³ і 7 см; 2) 150 см²; 3) 216 см³; 4) 240 см³ і 288 см²; 5) 60 см²; 6) 28√3 см³; 7) 30√3 см³; 8) 3 см; 9) 7 см і 252 см³; 10) 60 см³; 11) 30 см³; 12) 160 см³.

Якщо не вийшла одинадцята, підказка така: перемножте площі трьох граней, і вийде квадрат об'єму.

Тести, картки й збірники з призми

Безкоштовний тест «Призма» у розділі НМТ за темами містить 57 завдань, від площ граней до перерізів. Формули зручно повторювати за колодою флешкарток «Призма». Для роботи на папері є PDF-набір «Призма» з конспектом, двома варіантами тестів і симуляцією міні-НМТ, а також збірник «Стереометрія НМТ, 90 задач з відкритою відповіддю», де 20 задач саме на призму і всі відповіді цілі числа.

Піраміда й тіла обертання влаштовані за тими самими правилами, тільки в об'ємі з'являється третина. Про циліндр, конус і кулю є окрема стаття з формулами тіл обертання, а загальні підходи до стереометрії на тесті ми розбирали в статті про стереометрію на НМТ. Потренуватися на пірамідах можна в тесті «Піраміда».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до зовнішнього оцінювання з 2016 року. Результат задачі про шухляду взято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, дані про НМТ-2026 з другого тому офіційного звіту УЦОЯО. Відповіді до задач перераховані окремо від розв'язань.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 27 вересня 2026 року. Формули відповідають шкільному курсу стереометрії, формат НМТ-2027 на цю дату ще не затверджено.