Первісна це похідна навпаки: 60 вправ від таблиці похідних до площі фігури

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Первісна це функція, похідна якої дорівнює заданій. Тобто первісну не виводять, її впізнають: беруть таблицю похідних, читають справа наліво, а потім перевіряють відповідь одним диференціюванням. Визначений інтеграл рахується через ту саму первісну, як різниця двох її значень. Тому похідна, первісна й інтеграл це одне вміння, а не три теми. Якщо інтеграли «не йдуть», я починаю з учнем не з інтегралів, а з похідних, доки вони не почнуть братися без роздумів.

Найкраще це видно на завданні 19 нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року. Треба було знайти k з рівності, де k множать на інтеграл від нуля до двох від громіздкого дробу з e^x, а в результаті виходить 45. Правильну відповідь дали 9,9 % із 1796 учасників, ще 42,8 % завдання пропустили. А під знаком інтеграла після скорочення стояла звичайна трійка. Інтеграл від трійки на відрізку довжиною 2 дорівнює 6, отже k = 7,5. Лякав запис, а не математика.

Офіційна статистика схожа. За звітом УЦОЯО, на НМТ-2026 площу криволінійної трапеції під графіком e^x знайшли 28,7 % учасників, хоча первісна для e^x і формула Ньютона-Лейбніца лежали перед ними в довіднику. Формула була, не було звички нею користуватися.

Три дії з однією парою функцій

Візьмемо пару x³ і 3x². Похідна перетворює першу функцію на другу. Первісна робить зворотний крок: за 3x² знаходить x³, до якого можна додати будь-яке число. А інтеграл від 3x² на відрізку від 0 до 2 це різниця значень первісної на кінцях, тобто 8 мінус 0.

Велика літера F тут первісна, мала f її похідна. Усе, що далі в статті, це варіації цієї схеми.

Похідні, які мають братися без роздумів

У довіднику НМТ є таблиця похідних, і я не прошу вчити її напам'ять. Прошу інше: бачити в завданні рядок таблиці, навіть коли він замаскований. Одиниця, поділена на x², це x у степені мінус два, а корінь із x це x у степені одна друга. Хто не бачить цього одразу, застосовує до кореня правило для степеня з помилкою або не застосовує зовсім.

Ось таблиця й три правила, яких вистачає для всіх вправ цієї статті.

Останнього правила в довіднику немає, а на ньому тримається половина завдань. Якщо всередині функції стоїть не x, а лінійний вираз, наприклад 3x або 2x + 1, похідна множиться на число перед x. Тому похідна від sin 3x дорівнює 3 cos 3x, а не cos 3x.

Степені з від'ємним і дробовим показником тут головне джерело помилок. Якщо з ними складно, почніть зі статті про степені й логарифми, там є окремі вправи саме на такі степені.

Вправи на похідні

Відповіді наприкінці статті. Перш ніж іти далі, доведіть цей блок до стану, коли він розв'язується без жодної помилки.

Блок А. Знайдіть похідну.

Первісна це та сама таблиця, прочитана справа наліво

Первісною для функції f називають таку функцію F, похідна якої дорівнює f. Щоб її знайти, питаємо таблицю навпаки: похідна від чого дає задану функцію? Косинус виходить при диференціюванні синуса, отже первісна для cos x це sin x. Одиниця, поділена на x, виходить із натурального логарифма. А x³ виходить із x⁴, поділеного на 4, бо при диференціюванні четвірка спуститься вниз і скоротиться.

Для степеня правило дзеркальне до похідної: показник збільшують на одиницю й ділять на новий показник. Якщо всередині лінійний вираз, результат ділять на число перед x, бо при перевірці похідна це число поверне.

До кожної первісної дописують + C. Похідна від будь-якого числа дорівнює нулю, тому x³, x³ + 5 і x³ − 100 мають ту саму похідну 3x². Первісних у функції нескінченно багато, і відрізняються вони лише сталою.

Головна порада цієї статті проста. Знайшли первісну, візьміть від неї похідну. Якщо повернулися до функції з умови, відповідь правильна. Така перевірка займає секунд десять і ловить обидві найчастіші помилки: мінус перед косинусом і забуте ділення на новий показник.

Блок Б. Знайдіть первісну. У п'ятому й шостому прикладах спершу запишіть дріб як степінь x.

Блок В. Знайдіть первісну F для функції f, яка в указаній точці набуває указаного значення. Спершу запишіть загальний вигляд із + C, потім підставте точку і знайдіть C.

Блок Г. Перевірте, чи є F первісною для f. Для цього досить узяти похідну від F.

Інтеграл це різниця двох значень первісної

Визначений інтеграл від a до b рахують за формулою Ньютона-Лейбніца: знаходять будь-яку первісну, підставляють у неї b, потім a і віднімають. Стала C при цьому скорочується, тому її можна не писати.

Геометрично інтеграл від невід'ємної функції дорівнює площі фігури під графіком, яку в підручниках називають криволінійною трапецією. Якщо фігура затиснута між двома графіками, від верхньої функції віднімають нижню й інтегрують різницю.

Одне застереження. Там, де графік опускається нижче осі, інтеграл від'ємний, тому інтеграл і площа не завжди одне число. Четвертий приклад блоку Д саме про це.

Інтеграл від трійки, який пропустили 42,8 %

Повернімося до завдання 19 з пробного. Ось його умова й розв'язання повністю.

У чисельнику трійку виносять за дужки, і вираз у дужках збігається зі знаменником. Дріб скорочується до 3, а інтеграл від сталої дорівнює цій сталій, помноженій на довжину відрізка. Жодної таблиці первісних тут не знадобилося. Знадобилося помітити спільний множник, а це матеріал сьомого класу.

Звідси друге правило, яке я даю учням: перед тим як інтегрувати, подивіться, чи не спрощується вираз під знаком інтеграла. Дванадцятий приклад наступного блоку саме такий.

Блок Д. Обчисліть інтеграл.

Блок Е. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями. Спершу з'ясуйте, між якими точками лежить фігура і який графік вищий. Для цього вистачає швидкого ескізу.

Чотири помилки, які ловить одна перевірка

Найчастіше я бачу чотири помилки. Перша: первісною для sin x записують cos x, забувши про мінус. Друга: при інтегруванні степеня збільшують показник, але не ділять на новий, і x² перетворюється на x³ замість однієї третьої x³. Третя: у формулі Ньютона-Лейбніца віднімають у зворотному порядку, від нижньої межі верхню, і отримують відповідь із протилежним знаком. Четверта стосується площ: інтегрують частину графіка під віссю й записують від'ємне число як площу. Жодна з цих помилок не пов'язана з розумінням теми. Перші три ловить перевірка похідною, четверту ескіз.

Як ця тема виглядає на НМТ

За програмою з математики до розділу «Початки аналізу» входять похідна та її зміст, застосування похідної, первісна й визначений інтеграл. На НМТ-2026 з інтеграла було завдання на площу, те саме, яке розв'язали 28,7 %. У довіднику є таблиця похідних, правила диференціювання, таблиця первісних і формула Ньютона-Лейбніца, про його вміст ми писали окремо. Правила для складеної функції там немає.

На нашому пробному тема «Первісна та інтеграл» опинилася серед чотирьох найважчих, поруч із призмою, параметрами й системами. Але різниця є. Призма й параметри вимагають довгого розв'язання, а інтеграл із пробного розв'язувався в три рядки. Тому я вважаю цю тему найдешевшою серед важких: учневі, який уже впевнено бере похідні, вистачає двох-трьох тижнів, щоб закрити і первісну, і інтеграл, і площі.

Що відкрити після цієї статті

Безкоштовні тести в розділі НМТ за темами йдуть у тому ж порядку, що й ця стаття: «Похідна та її зміст» на 36 завдань, «Застосування похідної» і «Первісна та інтеграл» на 44 завдання. До кожної теми є колода флешкарток: похідна, застосування похідної, первісна та інтеграл. Як похідну використовують для дотичних і екстремумів, розібрано в статті про похідну та інтеграл на НМТ.

Коли блоки Б, Д і Е розв'язуються без помилок, переходьте до формату тесту. Тематична симуляція «Інтеграли» і тематична симуляція «Похідна» мають по 22 завдання в структурі НМТ, усі з однієї теми. Обидві платні, результат ви бачите в балах НМТ.

Для роботи на папері є PDF-набори «Похідна та її зміст» і «Первісна та інтеграл». У кожному конспект, два варіанти тематичних тестів, з підказками і без, і симуляція міні-НМТ.

У курсі підготовки до НМТ з математики похідна, первісна й інтеграл ідуть разом у п'ятому модулі. На 35-му уроці відео від Юрія Захарійченка й онлайн-тест, на 36-му і 37-му вісім файлів із завданнями, по чотири на похідну й на інтеграли, з підказками і без, а також тематична симуляція НМТ. Як побудований урок у курсі, я описав окремо.

Відповіді до всіх блоків

Відповіді йдуть у тому ж порядку, що й завдання. У блоці Б до кожної первісної дописано + C, у блоці Г галочка означає «так», хрестик «ні». Одна примітка до блоку Д: інтеграл у четвертому прикладі дорівнює нулю, бо частини фігури над віссю й під нею однакові за площею і віднімаються.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського і засновник навчального центру Math Corporation, де до зовнішнього оцінювання готують з 2016 року. Дані про завдання 19 взято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, результат завдання про площу з другого тому офіційного звіту УЦОЯО про НМТ-2026. Відповіді до вправ перевірені двічі.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 27 вересня 2026 року. Формат НМТ-2027 на цю дату не затверджено, тож перелік тем ще може змінитися.