Логарифми не підуть, доки не рахуються степені: 78 вправ від 2⁻³ до log₀,₅ 8

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Логарифм це показник степеня, і більше нічого. Запис log₂ 32 = 5 означає рівно те, що 2⁵ = 32. Тому людина, яка не скаже за дві секунди, чому дорівнює 2⁵, 3⁴ або 5⁻², не вивчить логарифми жодним способом: кожне завдання на логарифм це замасковане завдання на степінь. Якщо тема «не йде», починати треба не з властивостей логарифмів, а з таблиці степенів і вправ на їх обчислення. Так я і веду учнів: спершу степені, потім один крок, який підручники зазвичай пропускають, і вже тоді логарифми.

Ось чому я в цьому впевнений. Перше завдання нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року виглядало так: укажіть корінь рівняння 1 + log_0,5 x = 0. Із 1796 учасників, які дописали тест, правильно відповіли 33,3 %, ще 28,5 % його просто пропустили. А розв'язання тут коротке. Спершу log_0,5 x = −1, отже x = 0,5⁻¹, тобто 2. Це завдання на степінь із від'ємним показником, а не на логарифм. Хто не знає, що 0,5⁻¹ це 2, не розв'яже його, скільки б властивостей логарифмів не вивчив.

Офіційні дані кажуть те саме. У звіті УЦОЯО про НМТ-2026 є завдання 14, де треба було обчислити модуль різниці. З ним упоралися 41,2 % учасників, а близько п'ятої частини обрали відповідь, у якій 5⁻¹ дорівнює −5. Мінус у показнику вони прочитали як мінус перед числом. Саме з цієї помилки починається більшість проблем з логарифмами, хоча слово «логарифм» у завданні не звучало.

Три записи одного факту

Візьмемо рівність 2³ = 8. У ній три числа: основа 2, показник 3 і результат 8. Залежно від того, яке з трьох невідоме, отримуємо три різні дії. Якщо невідомий результат, це степінь. Якщо невідома основа, це корінь: яке число в кубі дає вісім? Якщо невідомий показник, це логарифм: у який степінь піднести двійку, щоб отримати вісім?

Логарифм тут нічим не складніший за корінь, він просто питає про інше число. І всі три записи говорять одне й те саме: два в кубі це вісім.

Що треба вміти зі степенями, перш ніж відкривати логарифми

Перше: таблиця степенів, яка згадується без пауз. Двійка до десятого степеня: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Трійка до п'ятого: 3, 9, 27, 81, 243. П'ятірка до четвертого: 5, 25, 125, 625. Ще сімка у квадраті й кубі, тобто 49 і 343, і степені десятки, де показник дорівнює кількості нулів. У завданнях НМТ з логарифмами трапляються майже виключно ці числа, тому таблиця закриває більшу частину теми.

Друге: від'ємний показник означає обернене число, а не від'ємне. Третє: дробовий показник означає корінь. Знаменник показника підказує, який корінь добувати, а чисельник, у який степінь підносити. Ось обидва правила на прикладах.

Подивіться уважніше на приклад із дробом у дужках: дріб у від'ємному степені просто перевертається. А 0,2⁻¹ дорівнює п'яти, бо нуль цілих дві десятих це одна п'ята. Той самий прийом вирішував перше завдання пробного НМТ, тільки там була половина.

Четверте: три правила дій. При множенні степенів з однаковою основою показники додаються, при діленні віднімаються, при піднесенні степеня до степеня перемножуються. Докладно, з усіма пастками, ці правила розібрані в статті про степінь і його властивості, а корені окремо в статті про квадратні корені.

І п'яте, найважливіше для логарифмів: уміння побачити в числі степінь потрібної основи. Ось як це виглядає на числах, які найчастіше трапляються в завданнях.

Саме ця навичка перетворює логарифм із «страшної функції» на усний рахунок. Останній приклад найкорисніший: корінь у такому записі це просто ще одна половинка в показнику.

Вправи на степені

Усе рахується без калькулятора, відповіді наприкінці статті. Не поспішайте в них заглядати: якщо приклад не виходить, поверніться до правил вище.

Блок А. Обчисліть.

Блок Б. Подайте число як степінь указаної основи, тобто знайдіть показник замість знака питання.

Блок В. Скористайтеся властивостями степенів. У третьому прикладі відповідь запишіть як степінь п'ятірки, а в останніх чотирьох знайдіть x.

Крок, якого не роблять

Подивіться ще раз на блок Б. У першому прикладі ви записали, що 32 = 2⁵. Тепер прочитайте цю саму рівність інакше: показник, у який треба піднести 2, щоб отримати 32, дорівнює 5. Це і є log₂ 32 = 5. Ви щойно обчислили логарифм, не знаючи, що це логарифм.

Увесь блок Б це чотирнадцять готових логарифмів. Останні чотири завдання блоку В теж: у рівнянні 2^x = 64 шукали саме показник, тобто x = log₂ 64 = 6.

Тепер означення, і воно вже не має здаватися чужим. Логарифмом числа b за основою a називають показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Формулою це записують так, а під формулою той самий переклад зі степенів на логарифми.

Обмеження в означенні не з підручника, вони випливають зі степенів. Одиниця в будь-якому степені лишається одиницею, тому за основою 1 показник не визначити. Додатне число в будь-якому степені додатне, тому логарифма нуля чи від'ємного числа не існує. Із цієї умови на НМТ виростає ОДЗ логарифмічних рівнянь, про яку ми писали окремо.

Властивості логарифмів це властивості степенів, прочитані з іншого боку

Тут я не прошу учнів вивчити п'ять формул. Я прошу перекласти правила, які вони вже знають. Ліворуч правило для степенів, праворуч те саме правило для логарифмів.

Логарифм і є показником, тому все працює однаково. При множенні степенів показники додаються, отже логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів. Перевірка на числах: log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5, і справді log₂ 32 = 5. При діленні показники віднімаються, тому log₃ 81 − log₃ 3 = 4 − 1 = 3, а це log₃ 27. При піднесенні степеня до степеня показники множаться, тому показник з-під логарифма виходить множником: log₂ 8⁵ = 5 · 3 = 15. Правило працює й у зворотний бік, 2 · log₅ 3 = log₅ 9.

Лишаються дві формули, яких у степенях немає. Основна логарифмічна тотожність це означення, прочитане назад: log_a b це той показник, який дає b, тому, піднісши a до нього, отримаємо b. Перехід до нової основи потрібен, коли в одному виразі стоять логарифми з різними основами. Під формулами приклади до обох.

Так це виглядало на нашому вересневому пробному. У завданні на відповідність треба було спростити log₃ (9 · 3^a). Дев'ять це 3², тому під логарифмом стоїть 3^{a + 2}, і відповідь a + 2. Через властивості виходить те саме: log₃ 9 + log₃ 3^a = 2 + a. Завдання, у якому стояв цей вираз, повністю виконали 18,4 % учасників, ще 33,2 % утворили одну або дві пари з трьох, а 29,8 % не бралися за нього взагалі.

Вправи на логарифми

Спершу тільки означення, без властивостей. Питання щоразу одне: у який степінь піднести основу.

Блок Г. Обчисліть.

Блок Д. Тепер застосуйте властивості. Якщо приклад не згортається, спершу подумайте, чи не можна звести все до однієї основи.

Блок Е. Розв'яжіть рівняння. У логарифмічних перевіряйте відповідь: під логарифмом має стояти додатне число, а основа має бути додатною і не дорівнювати одиниці.

На чому губиться бал

Перша й найдорожча помилка вже згадана: мінус у показнику читають як мінус перед числом, і 5⁻¹ перетворюється на −5. Друга: логарифм суми. Формули для нього не існує, як не існує формули для розкладання суми квадратів. Наприклад, log₂ (8 + 8) дорівнює 4, а «розклад» на log₂ 8 + log₂ 8 дає 6. Третя: плутають, що на що ділиться в переході до нової основи. Рятує перевірка на числах: log₉ 3 дорівнює одній другій, а не двом, бо три це корінь із дев'яти. Четверта: забувають, що під логарифмом має стояти додатне число, і записують у відповідь корінь, від якого лишається логарифм від'ємного числа. П'ята, дрібна, але масова: (log₂ 8)² і log₂ 8² це різні числа, дев'ять і шість.

Що з цим питають на НМТ

За програмою з математики, затвердженою наказом МОН № 1513, до тесту входять степінь з раціональним показником, логарифм і його властивості, показникові й логарифмічні рівняння та нерівності. У НМТ-2026 це були три різні завдання. Показникове рівняння 3^x = 81 · 9^x розв'язали 33,8 % учасників, завдання 17 на відповідність, де серед числових виразів був логарифм, повністю виконали 32,8 %, а в уже згаданому завданні 14 п'ята частина учасників не впоралася з 5⁻¹.

Зверніть увагу: за шкільною програмою це три різні теми з різних класів, а результат скрізь схожий, від 32,8 % до 41,2 %. Спільне в них одне, усі три зводяться до дії зі степенем. Тому моя порада не надто популярна серед тих, хто хоче «швидко пройти логарифми»: два тижні на степені з від'ємним і дробовим показником, і тільки потім логарифми. На розборах пробних це видно щоразу. Учень, який упевнено рахує вісім у степені дві третіх, бере логарифмічні вирази за один урок, а той, хто не рахує, ходить по колу.

Де тренуватися далі

Безкоштовно і одразу: тест «Показникові та логарифмічні вирази» в розділі НМТ за темами, 84 завдання з поясненнями до кожного. Після нього тести на показникові рівняння і на логарифмічні рівняння. Формули з цієї статті зібрані в окрему колоду флешкарток, там вони повторюються за методом інтервального повторення.

Коли вправи з блоків Г, Д і Е йдуть без помилок, час на формат тесту. Тематична симуляція «Логарифмічні вирази» це 22 завдання в структурі НМТ, з вибором відповіді, на відповідність і з короткою відповіддю, але всі з однієї теми. Поруч така сама симуляція з показникових рівнянь. Обидві платні, результат ви бачите в балах НМТ.

Для роботи на папері є PDF-набір «Показникові та логарифмічні вирази»: конспект, два варіанти тематичних тестів, з підказками і без, і симуляція міні-НМТ. А якщо проблема глибша і степені не рахуються ще з сьомого класу, є тренажер «Степені, корені, логарифми» на 1200 задач у 16 рівнях, від натурального показника до логарифмів, з розборами перед кожним типом задач і окремим зошитом відповідей.

У курсі підготовки до НМТ з математики ця тема займає чотири уроки. На 15-му і 16-му «Логарифми»: відео, гра в Kahoot, онлайн-тест і чотири файли «Логарифмічні вирази», два варіанти з підказками і без. На 17-му і 18-му «Показникові рівняння», відео до них записав Юрій Захарійченко. Степені з дробовим показником закриваються раніше, на уроках 8 і 9 про ірраціональні вирази. Як влаштований урок і чим курс відрізняється від вебінарів, я описав окремо.

Відповіді

Відповіді йдуть блоками в тому ж порядку, що й завдання, у блоці Б записано лише показник. Три коментарі до блоку Е. У третьому рівнянні підходить лише 7, бо основа логарифма має бути додатною. У дев'ятому коренів немає, тому там стоїть знак порожньої множини: п'ять у будь-якому степені додатне. У десятому обидва корені, 3 і −3, входять в ОДЗ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до зовнішнього оцінювання з 2016 року. Статистику взято з нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, яке дописали 1796 учасників, і з офіційного звіту УЦОЯО про НМТ-2026; вправи складені за програмою ЗНО з математики.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 27 вересня 2026 року. Вправи можна використовувати на уроках із посиланням на джерело. Формат НМТ-2027 на цю дату не затверджено.