Логарифми на НМТ: корінь знайшли правильно, а бал втратили

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

У логарифмічних рівняннях бал найчастіше втрачають не на перетворенні, а на останньому кроці, якого просто не роблять. Знайшли корені, записали обидва, а один із них не входить в область допустимих значень. Відповідь неправильна, хоча все до того було зроблено бездоганно.

Це не рідкісна помилка. Показникові й логарифмічні вирази стабільно тримаються в переліку тем, де учасники нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року втрачали бали з математики.

Що таке логарифм насправді

Логарифм відповідає на одне питання: у який степінь треба піднести основу, щоб отримати задане число. Запис log₂ 8 = 3 означає рівно те, що 2³ = 8, і нічого більше.

Якщо це тримати в голові, половина простих завдань розв'язується усно. log₃ 81 дорівнює 4, бо три в четвертому це 81. log₅ 1 дорівнює нулю, бо будь-яке число в нульовому степені дає одиницю. log₂ 0,5 дорівнює мінус одиниці, бо два в мінус першому це одна друга.

П'ять правил, і більше нічого

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів. Логарифм частки дорівнює різниці. Показник степеня виноситься перед логарифм множником. Логарифм самої основи дорівнює одиниці, логарифм одиниці дорівнює нулю. І перехід до нової основи, коли основи в завданні різні.

Усе інше це комбінації цих п'яти. Якщо в задачі стоїть вираз, який не піддається, майже завжди справа в тому, що спершу треба звести всі логарифми до однієї основи, а вже потім складати.

Пастка з ОДЗ, розібрана до кінця

Розв'яжемо рівняння log(x − 3) + log(x − 5) = log 15.

Перший крок очевидний: сума логарифмів це логарифм добутку, отже (x − 3)(x − 5) = 15. Розкриваємо дужки: x² − 8x + 15 = 15. Переносимо: x² − 8x = 0. Виносимо x за дужку: x(x − 8) = 0. Корені нуль і вісім.

А тепер найважливіше. Під логарифмом має стояти додатне число, отже потрібно одночасно x − 3 > 0 та x − 5 > 0. Друга умова жорсткіша, тому ОДЗ це x > 5.

Нуль не проходить. У відповіді лишається тільки вісімка.

Зверніть увагу, що корінь x = 0 з'явився не через помилку. Він виник з рівняння, отриманого після перетворення, і саме тому перевірка обов'язкова завжди, а не тільки коли щось здається підозрілим.

Показникові рівняння: заміна замість мучень

Просте рівняння 2ˣ = 8 розв'язується поглядом: обидві частини зводяться до однієї основи, 2ˣ = 2³, отже x = 3.

Складніший вигляд має рівняння 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0. Виглядає незручно, доки не помітити, що 4ˣ це (2ˣ)². Позначимо 2ˣ через t і отримаємо звичайне квадратне рівняння t² − 3t + 2 = 0, корені якого один і два.

Повертаємось до заміни. З 2ˣ = 1 маємо x = 0, з 2ˣ = 2 маємо x = 1. Обидва підходять, бо показникова функція додатна при будь-якому x і жодних обмежень не створює.

Ось головна різниця між двома темами, яку варто засвоїти одразу. У показникових рівняннях ОДЗ зазвичай не обмежує нічого. У логарифмічних обмежує завжди. Тому в перших перевірку можна пропустити, у других ніколи.

Чого не роблять, а варто

Виписуйте ОДЗ першим рядком, до будь-яких перетворень. Не в кінці, коли вже втомилися й хочеться швидше записати відповідь, а на самому початку. Це три секунди й один бал.

У нерівностях стежте за основою. Якщо вона більша за одиницю, знак нерівності зберігається. Якщо лежить між нулем і одиницею, знак перевертається. Це друга за частотою втрата після ОДЗ, і вона теж механічна.

Скажу відверто: у цій темі здібності майже ні на що не впливають. Тут виграє той, хто привчив себе до порядку дій, а не той, хто краще розуміє логарифми. Порядок дій ставиться повторенням, а не осяянням.

З чого починати підготовку

Спочатку степені, бо без них логарифми не працюють: властивості степеня ми розібрали в окремій статті. Потім двадцять усних прикладів на означення логарифма, без рівнянь узагалі. Далі п'ять правил на перетворення виразів. І тільки після цього рівняння.

Нерівності беріть останніми, коли рівняння вже не викликають сумнівів. Загальний підхід до розв'язування описаний у матеріалах про алгебраїчні рівняння та квадратні нерівності, а відпрацьовувати зручно в тестах за темами.

Повний перелік тем, які просіли на нашому вересневому пробному, лежить тут, а структура математичного блоку описана тут.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік тем, де найчастіше втрачають бали, узятий зі статистики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року.

Оновлено 2 жовтня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату не затверджені.