Квадратні нерівності: як розв’язувати, приклади та системи

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Квадратна нерівність це нерівність виду ax² + bx + c > 0 (або з іншим знаком: <, ≤, ≥), де a ≠ 0. Розв'язати її означає знайти всі значення x, при яких вона правильна.

Найшвидший шлях на тесті це метод парабол: знаходите корені відповідного рівняння, схематично малюєте параболу і вибираєте проміжки, де графік лежить із потрібного боку від осі OX. Малюнок тут не прикраса. Без нього доводиться підставляти пробні точки, а це довше й помилковіше.

Що таке квадратна нерівність

Квадратною нерівністю називається нерівність виду:

 Де* - один із знаків >, <, ≤, ≥.

Алгоритм розв’язання

Щоб розв’язати квадратну нерівність, треба:

-перенести всі доданки в одну сторону (справа залишити «0»);

-якщо a<0, то до множити нерівність на -1, змінюючи при цьому знаки доданків і нерівності на протилежні;

-розв’язати допоміжне рівняння:

-схематично побудувати параболу вітками в гору відносно осі ОХ, в залежності від кількості розв’язків рівняння; якщо рівняння має 2 кореня, то парабола перетинає вісь ОХ в двох точках, якщо один корінь – то в одній точці, якщо рівняння коренів не має, то парабола не перетинає вісь ОХ (плаває або в верхній півплощині, або в ніжній).

-поставити знак «+» над проміжками, де парабола знаходиться вище осі , поставити знак «-» над проміжками, де парабола знаходиться нижче осі;

-вбрати проміжки з «+», якщо знак нерівності >, ≥. , , вибрати проміжки з

«-», якщо знак нерівності <, ≤.

Розбір прикладу

Приклад: 

Розв’язок:

Це парабола, яка напрямлена вітками до гори (а=3, а> ).

Знайдемо перетин її з віссю ОХ :

Зобразимо схематично цю параболу.

Треба обрати проміжки, де функція набуває додатних значень, графік вище осі ОХ. 

x ∈ (−∞; −2) ∪ (2/3; +∞)

Системи квадратних нерівностей

Систему розв'язують так само, тільки в кілька заходів. Кожну нерівність окремо методом парабол, потім усі отримані проміжки наносите на одну числову пряму й берете переріз, тобто ділянки, де одночасно виконуються всі нерівності. Відповідь записуєте проміжком або об'єднанням проміжків.

Відмінність від сукупності одна, але дорога: у системі відповіді перетинають, у сукупності об'єднують. На перевірках робіт це найчастіша причина неправильної відповіді в цій темі.

Коли швидший метод інтервалів

Якщо ліву частину легко розкласти на множники, параболу креслити необов'язково.

Перенесіть усе в один бік і розкладіть на множники: (x − x₁)(x − x₂). Корені позначте на числовій прямій, виколотими для строгої нерівності й зафарбованими для нестрогої. Праворуч від найбільшого кореня поставте знак старшого коефіцієнта, а далі, рухаючись уліво, міняйте знак при переході через кожен корінь непарної кратності. Лишається вибрати проміжки з потрібним знаком.

Обидва методи дають однаковий результат, тому беріть той, у якому менше помиляєтесь. Для лінійних нерівностей усе простіше: Лінійні нерівності.

Коли коренів немає

Якщо дискримінант від'ємний, парабола не перетинає вісь OX і повністю лежить з одного боку. Тоді жодних проміжків не потрібно.

При a > 0 і D < 0 вираз завжди додатний: нерівність «> 0» виконується для всіх x, а «< 0» не має розв'язків. При a < 0 і D < 0 усе навпаки. При D = 0 парабола торкається осі в одній точці, і при a > 0 нерівність «> 0» виконується для всіх x, крім самого кореня.

Ці випадки регулярно трапляються на тесті саме тому, що їх найчастіше пропускають. Якщо дискримінант вийшов від'ємним, не думайте, що ви помилилися в обчисленнях. Часто це і є відповідь.

Сім місць, де губиться бал

Забувають змінити знак нерівності при множенні на −1, і відповідь виходить рівно протилежною правильній. Виколюють корені при нестрогому знаку, хоча при ≤ і ≥ корені входять у відповідь. Плутають систему і сукупність. Не розглядають випадок D < 0. Ділять нерівність на вираз зі змінною, хоча його знак невідомий, а треба переносити все в один бік. Записують відповідь нерівностями замість проміжків, а у варіантах відповідей стоять саме проміжки. І ставлять квадратну дужку біля нескінченності, хоча правильно лише (−∞; a].

Уся тема в одному абзаці

Зводите до вигляду ax² + bx + c ⋛ 0, справа нуль. Якщо a < 0, множите на −1 і міняєте знак нерівності. Дискримінант більший за нуль дає два корені, нульовий один, від'ємний жодного. Для знаків «>» і «≥» берете проміжки, де парабола вище осі OX, для «<» і «≤» нижче. Строга нерівність кругла дужка, нестрога квадратна, біля нескінченності завжди кругла. Система це переріз, сукупність об'єднання.

Короткі відповіді про параболу, знаки й дужки

Навіщо взагалі креслити параболу?

Вона показує, де вираз додатний, а де від'ємний. Без неї доводиться підставляти пробні точки, а це довше і легше помилитися. Що ще питають на тесті про графіки, ми розібрали окремо: функції та графіки на НМТ.

Чи обов'язково робити старший коефіцієнт додатним?

Необов'язково, але зручно: тоді парабола завжди дивиться вітками вгору, і схема однакова для всіх завдань. Головне не забути змінити знак нерівності при множенні на −1.

Що робити, якщо нерівність дробово-раціональна?

Не множити на знаменник, а звести до вигляду «дріб ⋛ 0» і застосувати метод інтервалів, врахувавши, що знаменник не дорівнює нулю. Рівняння цього типу розібрані тут: Лінійні, квадратні та дробово-раціональні рівняння.

Як записувати відповідь із нескінченністю?

Завжди круглою дужкою.

Чи буде ця тема на НМТ?

Так, нерівності входять до програми з математики. Скільки завдань і скільки вони коштують: Математика на НМТ.

Де відпрацювати

Потренуватися саме на нерівностях можна в тестах за темами, формули зручно повторювати за флешкартками, повні варіанти зібрані в розділі тести НМТ. Покроковий план: Підготовка до НМТ.

Новини про НМТ і розбори завдань на нерівності: t.me/nmt_zno_evi.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади й перелік помилок вище взяті з розборів занять і пробних тестів наших учнів.

Опубліковано 14 вересня 2026 року, оновлено у вересні.