Лінійні, квадратні та дробово-раціональні рівняння: як розв’язувати

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Розв'язати рівняння означає знайти всі значення змінної, при яких рівність правильна. Спосіб залежить від типу, і типів насправді небагато.

Лінійне розв'язується перенесенням доданків. Квадратне через дискримінант або теорему Вієта. Дробово-раціональне зведенням до нуля з обов'язковим урахуванням ОДЗ. Рівняння вищих степенів заміною змінної або розкладанням на множники. Якщо вам потрібні готові розв'язки крок за кроком, вони зібрані окремо: Як розв'язувати рівняння: розбір прикладів.

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння вигляду

ax+b=0 ,де a,b (a≠0) – числа, х – невідома величина.

У ньому а називається коефіцієнтом при невідомій х, число b – вільним членом рівняння.

Отже, рівняння першого степеня завжди має один корінь.

Рівняння першого степеня є частинним випадком лінійного рівняння

ax+b=cx+d, де a, b, c, d - задані числа, x - невідоме.

Щоб розв’язати рівняння першого степеня, треба перенести доданки з невідомими в одну сторону, а відомі в другу, спростити і поділити рівняння на коефіцієнт біля змінної.

При цьому у даному рівнянні (а-с) може дорівнювати нулю на відміну від коефіцієнта при невідомому у рівнянні ax+b=0.

Наведемо приклади розв’язання таких рівнянь.

Приклад 1. 

Приклад 2.

Рівняння коренів не має.

Квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння:

Формула коренів:

де

Якщо

то два розв’язки.

Якщо 

то один розв’язок.

Якщо

то розв’язку рівняння не має.

Теорема Вієта

Якщо

корені квадратного рівняння 

то сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, поділеному на перший з протилежним знаком, а добуток – вільному члену, поділеному на перший коефіцієнт

Зведене квадратне рівняння:

Корені за теоремою Вієтта: 

Неповні квадратні рівняння

Добути корінь

якщо

немає розв’язків, якщо

Перенести невідомі в одну сторону, а відомі в другу:

поділити на коефіцієнт 

добути корінь

Якщо

то рівняння немає розвязків

Винести х за дужки

х(aх+b)=0

Розв’язати два рівняння

Рівняння, що зводяться до лінійних або квадратних

Метод розкладання на множники ґрунтується на правилі, коли добуток дорівнює нулю.

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю

Рівняння:

визначене на всій числовій осі, рівносильне сукупності рівнянь

або

Рівняння, що зводяться до квадратних, за допомогою введення допоміжної змінної:

-    біквадратні;

-    заміна однакових виразів;

-    рівняння з оберненими виразами;

-    рівняння ,що містять корені та вищі степені змінних.

Однакові вирази замінюються новою буквою, розв’язують рівняння з новою змінною, повертаються до заміни та розв’язують простіше рівняння зі старою змінною.

Дробово-раціонального рівняння

Рівняння, що містять змінну в знаменнику, називаються дробово-раціональними.

Щоб розв’язати дробово-раціональне рівняння, треба:

- перенести все в одну сторону рівняння і звести дроби до спільного знаменника;

- розв’язати два рівняння: чисельник дорівнює нулю, знаменник не дорівнює нулю (ОДЗ);

- у відповідь записати ті розв’язки, що задовольняють ОДЗ.

Як обрати метод

Коротка схема, яку варто тримати в голові на тесті.

Один x у першому степені означає лінійне рівняння: переносите невідомі в один бік і ділите на коефіцієнт. Є x², отже квадратне: дискримінант або Вієт, а якщо немає b чи c, рівняння неповне й розв'язується швидше. Змінна в знаменнику означає дробово-раціональне: спочатку ОДЗ, потім вигляд «дріб = 0».

Четвертий степінь із парними показниками це біквадратне, тут працює заміна t = x². Повторюваний вираз у дужках теж просить заміни. А степінь вища за другу без очевидної заміни означає розкладання на множники й теорему Безу: Рівняння вищих степенів.

Де втрачають бали

• Забувають ОДЗ у дробово-раціональному рівнянні. Корінь, який обнуляє знаменник, у відповідь не входить.
• Ділять обидві частини на вираз зі змінною й через це втрачають корінь. Правильно виносити за дужки.
• Помиляються у знаку при перенесенні доданка.
• Рахують дискримінант із помилкою в знаках. Особливо коли вільний член від'ємний, бо мінус на мінус дає плюс і дискримінант зростає.
• Не повертаються до заміни. Знайшли t, а x так і не знайшли. У біквадратних це помилка номер один.
• Беруть від'ємне значення після заміни t = x². Квадрат не буває від'ємним.
• Не перевіряють корені після піднесення до квадрата, хоча ця операція вміє додавати сторонні корені.

Коротко для повторення

Лінійне ax + b = 0 дає x = −b/a. Якщо a і b обидва нулі, коренів безліч; якщо a нуль, а b ні, коренів немає.

Квадратне: D = b² − 4ac, і далі два корені, один або жодного. Формула x = (−b ± √D) / 2a. Для зведеного рівняння швидше працює Вієт: сума коренів дорівнює −p, добуток q.

Неповні квадратні розв'язуються без дискримінанта: ax² + bx = 0 розкладається на x(ax + b) = 0, а ax² + c = 0 зводиться до x² = −c/a, і корені є лише тоді, коли права частина невід'ємна.

Дробово-раціональне: спершу ОДЗ, далі чисельник нуль, знаменник не нуль. Біквадратне: заміна t = x² з умовою t ≥ 0.

Часті питання

Коли швидше застосувати теорему Вієта, а не дискримінант?

Коли рівняння зведене й коефіцієнти невеликі цілі числа. Тоді корені часто підбираються усно за кілька секунд. У решті випадків надійніший дискримінант.

Що робити, якщо дискримінант не точний квадрат?

Нічого страшного, відповідь просто буде з коренем. Залишайте її у вигляді (−b ± √D)/2a і не округлюйте: у варіантах відповідей на тесті зазвичай стоїть точне значення.

Навіщо потрібне ОДЗ, якщо корені й так знайдені?

Бо частина знайдених коренів може перетворювати знаменник на нуль. Такі значення розв'язками не є, і саме на цьому втрачають бали.

Чи можна множити рівняння на знаменник?

Можна, але тоді обов'язково перевіряйте отримані корені за ОДЗ: множення на вираз зі змінною вміє додавати сторонні корені.

Як пов'язані рівняння і нерівності?

Розв'язання нерівності починається з того самого рівняння: спочатку знаходять корені, і лише потім визначають потрібні проміжки. Докладніше в статтях про квадратні та лінійні нерівності.

Що почитати далі

Суміжні теми кластера: системи рівнянь, рівняння вищих степенів, алгебраїчні вирази і дійсні числа.

Відпрацювати тему на завданнях можна в тестах за темами, формули зручно повторювати за флешкартками, повні варіанти в розділі тести НМТ. Скільки завдань із математики на тесті й скільки вони коштують: Математика на НМТ.

Розбори завдань і новини про НМТ: t.me/nmt_zno_evi.

Завдання для закріплення

 Розв’язати лінійне рівняння :

Розв’язати квадратне рівняння :

Розв’язати біквадратне рівняння:

Розв’язати рівняння, ввівши нову змінну:

Розв’язати дробово-раціональне рівняння:

Розв’язати рівняння з модулями:

Про автора

Андрій Стулішенко, кандидат технічних наук, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Матеріал оновлено 20 вересня 2026 року.