Рівняння вищих степенів: теорема Безу і схема Горнера

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Рівняння вищих степенів це рівняння виду aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0 зі степенем n ≥ 3. Універсальної формули коренів для них немає, і це добра новина: замість формули працює один і той самий прийом.

Степінь знижують. Спочатку підбирають один корінь серед дільників вільного члена, потім за теоремою Безу ділять многочлен на (x − x₀) і працюють із рівнянням на одиницю меншого степеня. Так доходять до квадратного, яке вже розв'язується звично. Базові типи рівнянь розібрано окремо: Лінійні, квадратні та дробово-раціональні рівняння.

Многочлен п-го степеня та його корені.

О-1

Многочленом п –го степеня називається вираз вигляду

О-2

Число а називається коренем многочлена, якщо при підстановці його замість змінної, воно перетворює многочлен в нуль.

Т-1 (Безу)

   Якщо число а є дійсним коренем многочлена, то многочлен ділиться на двочлен x – a

Цілі алгебраїчні рівняння

О-3

 Цілим раціональним рівнянням степені n стандартного виду називають рівняння типу:

Основна теорема алгебри

   Рівняння п –го степеня може мати не більше, ніж п коренів.

Основні методи розв’язування цілих рівнянь

Метод розкладання на множники

Т-3

   Рівняння 

визначене на всій числовій осі, рівносильне сукупності рівнянь

або

Приклад

Розв’язати рівняння

Розв’язання

Розкладемо на множники методом групування:

Відповідь:

Метод ділення многочленів

Т-4

 Якщо ціле раціональне рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі корені р, то вони є дільниками - вільного члена цього рівняння.

Приклад

Розв’язати рівняння: 

Розв’язання

Приведемо рівняння до стандартного виду:

Дільники вільного члена: 

Обчислимо: 

Отже х=1 - корінь рівняння.

Виконаємо ділення

Одержимо 

Обчислимо:

Отже х=2 - корінь рівняння.

Виконаємо ділення

Одержимо:

Розв’яжемо за допомогою дискримінанта.

Початкове рівняння можна представити у вигляді добутку:

яке рівносильне сукупності рівнянь

Відповідь:

Т-5

Якщо ціле раціональне рівняння з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь 

то

є дільником вільного члена

дільник старшого коефіцієнта

цього рівняння.

Приклад

Розв’язати рівняння 

Розв’язання

Дільники вільного члена: 

Натуральні дільники старшого коефіцієнта:

Обчислимо

Отже х=4/3 - корінь рівняння.

Поділимо

Розв’яжемо за допомогою дискримінанта

Рівняння немає розв’язків.

Відповідь:

Розв’язати рівняння за теоремою Безу:

Як розв'язати рівняння вищого степеня

Спершу перевірте очевидне: чи можна винести спільний множник, чи є формула скороченого множення, чи всі степені парні (тоді працює заміна t = x²). Якщо нічого з цього немає, випишіть дільники вільного члена з обома знаками, бо саме серед них шукають цілий корінь, і підставляйте їх по черзі, доки многочлен не обнулиться. Знайдене значення x₀ і є коренем. Далі поділіть многочлен на (x − x₀) кутом або за схемою Горнера, і степінь знизиться на одиницю. Повторюйте, доки не залишиться квадратне рівняння, а тоді зберіть усі корені й запишіть відповідь.

Якщо старший коефіцієнт не дорівнює одиниці, раціональний корінь шукають у вигляді дробу: чисельник це дільник вільного члена, знаменник дільник старшого коефіцієнта.

Шість причин загубити корінь

Перевіряють лише додатні дільники, а від'ємні теж треба підставляти, і корінь часто саме там. Забувають про дробові корені, хоча коли старший коефіцієнт не одиниця, цілого кореня може не бути взагалі. Зупиняються після першого кореня, а рівняння степеня n має до n коренів, тому многочлен доводять до квадратного. Помиляються у схемі Горнера: пропущений нульовий коефіцієнт при відсутньому степені зсуває весь рядок, і далі все неправильно. Втрачають корінь, поділивши на вираз зі змінною, тоді як замість ділення треба виносити за дужки. І не враховують кратність кореня.

Теорема Безу й пошук коренів коротко

За основною теоремою алгебри рівняння степеня n має рівно n коренів з урахуванням кратності. Теорема Безу каже, що остача від ділення P(x) на (x − a) дорівнює P(a), а звідси наслідок: x₀ є коренем тоді й лише тоді, коли P(x) ділиться на (x − x₀) без остачі.

Цілий корінь шукають серед дільників вільного члена з обома знаками. Раціональний корінь має вигляд p/q, де p дільник вільного члена, а q дільник старшого коефіцієнта. Схема Горнера швидша за ділення кутом і менш схильна до помилок. І базове: добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один множник нульовий.

Що питають про Горнера, кратність і біквадратні рівняння

Чи завжди рівняння вищого степеня має цілий корінь?

Ні. Якщо серед дільників вільного члена кореня немає, шукають раціональний у вигляді p/q, а за його відсутності застосовують заміну змінної або розкладання на множники.

Що швидше: ділення кутом чи схема Горнера?

Схема Горнера. Вона займає один рядок і не вимагає переписувати многочлен на кожному кроці.

Скільки коренів має кубічне рівняння?

Три з урахуванням кратності. Дійсних серед них може бути один або три, бо комплексні корені завжди йдуть парами.

Як бути з біквадратним рівнянням?

Це окремий випадок: усі степені парні, тому працює заміна t = x², після якої залишається квадратне рівняння. Розбір такого прикладу є тут: Як розв'язувати рівняння: 7 прикладів.

Чи потрібна ця тема на НМТ?

Рівняння вищих степенів трапляються у складніших завданнях, зазвичай через заміну змінної або розкладання на множники: Математика на НМТ.

Де ще знадобляться ці прийоми

Ті самі заміни й розкладання на множники знадобляться в нелінійних системах рівнянь.

Цю тему не треба тримати у щоденному режимі: кілька завдань у тестах за темами раз на кілька тижнів і один повний варіант у розділі тести НМТ не дадуть схемі Горнера забутися до тесту. Скільки часу відвести на тему серед інших, підкаже стаття Підготовка до НМТ.

Розбори складніших рівнянь із пробних НМТ виходять у телеграмі: t.me/nmt_zno_evi.

Завдання для закріплення

Розв’язати рівняння методом розкладання на множники:

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Опубліковано 11 серпня 2026 року, джерела додано у вересні.