Як розв’язувати рівняння: 7 прикладів із поясненнями

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Тут зібрано сім типових рівнянь із повними розв'язками крок за кроком: лінійне з дробами, розкладання на множники, біквадратне, рівняння із заміною змінної, рівняння вищого степеня за теоремою Безу, дробово-раціональне та рівняння з модулями.

Головне в кожному прикладі не відповідь, а логіка: чому обрано саме цей метод, а не інший. Це те, чого не видно в готовому розв'язку з підручника, і саме це дає швидкість на тесті. Якщо вам потрібні спершу формули й теорія, вони зібрані окремо: Лінійні, квадратні та дробово-раціональні рівняння.

Приклад 1. Лінійне рівняння з дробами

Розв’язати рівняння:

Розв’язок

Помножимо рівняння на 15:

Розкриємо дужки і перенесемо в одну сторону:

Перенесемо доданки з невідомим в одну сторону, з відомим - в іншу:

Поділимо рівняння на 8:

Відповідь:

Приклад 2. Розкладання на множники

Розв’язок

Згрупуємо доданки та розкладемо на множники (1 з 4 та 2 з 3):

Застосуємо формулу різниці кубів:

Винесемо спільний множник за дужки:

Розв’яжемо два рівняння:

Перше лінійне рівняння має розв’язок

Друге квадратне рівняння немає розв’язок , бо дискримінант від’ємний.

Відповідь: 1.

Приклад 3. Біквадратне рівняння

Розв’язок

Біквадратне рівняння розв’яжемо за допомогою допоміжної змінної.

Нехай

тоді отримаємо нове рівняння:

За теоремою Вієтта 

отримаємо:

Повернемося до заміни:

Добудемо корінь з обох частин рівнянь.

Відповідь:

Приклад 4. Рівняння із заміною змінної

Розв’язок

Врахуємо ОДЗ:

Застосуємо заміну:

Рівносильне рівняння розв’яжемо за допомогою теореми Вієтта.

отримаємо:

Повернемося до заміни:

Помноживши на х, отримаємо квадратні рівняння, які розв’яжемо за теоремою Вієтта.

отримаємо:

Відповідь:-6, -2, 1, 3.

Приклад 5. Рівняння вищого степеня за теоремою Безу

Розв’язок

Запишемо дільники вільного члена -6:

Підберемо корені многочлена:

Оскільки х=1 є коренем многочлена, то за теоремою Безу можна виконати ділення даного многочлена на х-1

Розв’яжемо рівняння:

отримаємо:

Відповідь:1, 6.

Приклад 6. Дробово-раціональне рівняння

Розв’язок

Розкладемо знаменники на множники та зведемо дроби до спільного знаменника.

Розв’яжемо два рівняння:

Відповідь: 9.

Приклад 7. Рівняння з модулями

Розв’язок

Знайдемо нулі підмодулевих виразів.

отримаємо:

Розв’яжемо початкове рівняння на кожному з проміжків, на які поділяють нулі числову вісь, розкриваючи модуль за правилом

Відповідь:

Завдання для самостійної роботи

Розв’язати рівняння:

Як обрати метод за виглядом рівняння

Якщо навчитися впізнавати тип за перші п'ять секунд, половина роботи вже зроблена.

Якщо в рівнянні дроби з числовими знаменниками, множите на спільний знаменник (приклад 1). Якщо є спільний множник або знайома формула скороченого множення, розкладаєте на множники (приклад 2). Тільки парні степені x означають заміну t = x² (приклад 3), а повторюваний вираз заміну цілого виразу новою змінною (приклад 4). Третій степінь і вище без очевидної заміни це підбір кореня серед дільників вільного члена й далі теорема Безу (приклад 5). Змінна в знаменнику вимагає ОДЗ і зведення до вигляду «дріб = 0» (приклад 6), а модуль нулів підмодульних виразів і розбиття на проміжки (приклад 7).

На чому найчастіше втрачають бали

Не записали ОДЗ. У дробово-раціональних рівняннях корінь, що обнуляє знаменник, у відповідь не входить, і це найдорожча помилка розділу.

Далі за частотою: не повернулися до заміни й лишили t замість x; узяли від'ємне t при заміні t = x², хоча такий корінь відкидається одразу; поділили на вираз зі змінною й через це втратили корінь; не перевірили корені в рівнянні з модулем, хоча корінь має належати тому проміжку, на якому його знайдено; перевірили не всі дільники вільного члена, бо забули про від'ємні.

Про корені, ОДЗ і модулі питають найчастіше

Скільки коренів може мати рівняння?

Стільки, який його степінь, з урахуванням кратності. Лінійне один, квадратне до двох, кубічне до трьох. Частина з них може бути не дійсними.

Як швидко підібрати корінь у рівнянні вищого степеня?

Перебирайте дільники вільного члена з обома знаками: цілий корінь, якщо він є, буде серед них. Далі ділення на (x − x₀) за теоремою Безу знижує степінь. Докладніше: Рівняння вищих степенів.

Чи обов'язково записувати ОДЗ окремо?

Так, і краще на початку. Це дешевше, ніж наприкінці зрозуміти, що один із двох знайдених коренів не підходить.

Що робити з рівнянням, у якому два модулі?

Знайти нулі обох підмодульних виразів, розбити числову пряму на проміжки і розв'язати рівняння на кожному з них, щоразу перевіряючи, чи належить корінь цьому проміжку.

Де потренуватися?

Завдання за цією темою є в тестах за темами, повні варіанти в розділі тести НМТ.

Коли рівняння ускладнюється

Коли рівнянь кілька, працюють ті самі прийоми плюс підстановка чи додавання: системи рівнянь. Якщо ж у рівнянні з'являється параметр, логіка розбору інша, і ми показали її окремо: задачі з параметром на НМТ. Покроковий план підготовки: Підготовка до НМТ.

Про нові статті з рівнянь і дати пробних тестів пишемо в телеграмі: t.me/nmt_zno_evi.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, характеристика тесту з математики: testportal.gov.ua
• УЦОЯО, складники НМТ: testportal.gov.ua
• МОН, наказ від 03.02.2026 № 152 «Про організацію та проведення у 2026 році національного мультипредметного тесту»: mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Опубліковано 18 серпня 2026 року, оновлено у вересні.