Задачі з параметром на НМТ: як підступитися і коли чесніше пропустити

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Задача з параметром не складніша за інші. Вона про інше. Звичайне рівняння питає, чому дорівнює x. Рівняння з параметром питає, за яких значень a воно взагалі має розв'язки і скільки їх. Відповіддю буде не число, а проміжок.

Саме ця підміна питання й топить. Людина знаходить x через a, зупиняється й не розуміє, що робити далі, бо шукала не те.

Найпростіший випадок, з якого все зрозуміло

Рівняння |x| = a. Ніяких перетворень тут не потрібно, достатньо подумати про модуль.

Якщо a менше нуля, розв'язків немає: модуль не буває від'ємним. Якщо a дорівнює нулю, розв'язок один, x = 0. Якщо a більше нуля, розв'язків два, x = a та x = −a.

Оце і є повна відповідь на задачу з параметром: три випадки, у кожному своя кількість коренів. Уся тема далі це та сама логіка на складніших виразах.

Малюнок замість алгебри

Розберемо задачу, яка вже виглядає як тестова: скільки коренів має рівняння |x² − 4| = a залежно від a.

Алгебраїчно тут треба розкривати модуль, розбивати на випадки й рахувати дискримінанти в кожному. Довго. Графічно задача розв'язується за хвилину.

Накресліть y = x² − 4: парабола з вершиною в точці (0, −4), яка перетинає вісь у точках −2 і 2. Тепер візьміть модуль: усе, що було нижче осі, відображається вгору, і між −2 та 2 з'являється дуга з максимумом 4 у нулі. Права та ліва вітки лишаються як були.

Далі проводьте горизонтальну пряму y = a і рахуйте перетини. При a менше нуля пряма проходить під графіком, коренів немає. При a = 0 пряма торкається осі у двох точках, корені −2 і 2. При a між нулем і чотирма пряма перетинає і дугу, і обидві вітки, тому коренів чотири. При a = 4 пряма проходить рівно через вершину дуги, і це дає три корені. При a більше чотирьох дуга вже нижче, лишаються тільки дві вітки, тобто два корені.

Перевірте останній випадок самі для a = 5: із зовнішніх віток x² − 4 = 5 дає x = ±3. Справді два.

Три питання, на які зводиться тема

Майже всі параметри у форматі НМТ це одне з трьох. Скільки коренів має рівняння при заданому a. За яких a рівняння має хоча б один корінь. За яких a обидва корені задовольняють додаткову умову, наприклад обидва додатні.

Для квадратного рівняння друге й третє питання закриваються дискримінантом і теоремою Вієта. Якщо x² + px + q = 0 має два корені, їхня сума дорівнює −p, а добуток дорівнює q. Обидва корені додатні тоді, коли дискримінант невід'ємний, сума більша за нуль і добуток більший за нуль. Три нерівності, система, готово.

Як влаштовані самі квадратні рівняння й нерівності, у нас розібрано окремо: про алгебраїчні рівняння і про квадратні нерівності.

Коли параметр треба пропустити

Тут скажу те, чого зазвичай не кажуть на курсах. Задача з параметром у тесті коштує стільки ж, скільки найпростіше завдання блоку, а часу забирає в кілька разів більше.

Якщо ви впевнено берете 15 із 22 завдань з математики, ваш пріоритет не параметр. Ваш пріоритет ті три-чотири прості завдання, які ви зазвичай втрачаєте через неуважність. Вони дадуть більше балів за менший час.

Параметр варто вчити, коли решта тесту вже стабільно закривається і ви боретесь за верхню частину шкали. На нашому пробному НМТ 19 вересня 2026 року 180 і більше рейтингових балів з математики отримав 91 учасник із 1796. Саме в цьому діапазоні параметр і починає щось вирішувати.

Водночас параметри стабільно тримаються в першій трійці тем, де учасники нашого пробного втрачали бали. Тобто їх і не пропускають, і не беруть, а витрачають на них час і лишаються без результату. Це найгірший із можливих варіантів.

Що робити, якщо вирішили вчити

Починайте з графіків, а не з формул. Навчіться швидко малювати параболу, модуль, гіперболу й корінь, бо горизонтальна пряма y = a разом із цими чотирма графіками закриває більшу частину задач.

Далі відпрацьовуйте дискримінант і Вієта до автоматизму. Потім беріть задачі пачками по одному типу: спершу тільки «скільки коренів», потім тільки «за яких a існує розв'язок». Змішувати типи на старті шкідливо.

Тренуватися зручно в тестах за темами, а загальну картину того, де саме втрачають бали з математики, ми зібрали в статті про типові помилки. Структура математичного блоку описана тут, а повна статистика вересневого пробного тут.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Дані про теми, де найчастіше втрачають бали, і розподіл результатів узяті з нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року.

Оновлено 27 вересня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 станом на цю дату офіційно не визначені.