Системи рівнянь: метод підстановки, додавання і графічний

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Система рівнянь це кілька рівнянь із тими самими невідомими, які треба задовольнити одночасно. Розв'язком системи з двома невідомими є пара чисел (x₀; y₀), що перетворює кожне рівняння на правильну рівність.

Способів три: підстановка, алгебраїчне додавання і графічний метод. Перші два дають точну відповідь, третій радше показує, скільки розв'язків узагалі є. Окремі типи рівнянь розібрані тут: Лінійні, квадратні та дробово-раціональні рівняння.

Що таке система рівнянь

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд

де

 - числа,

невідомі.

Розв’язком системи є пара чисел (x₀,y₀), яка при підстановці її у рівняння системи перетворює їх на правильні рівності одночасно.

Розв’язати систему рівнянь – це знайти всі її розв'язки або встановити, що розв’язків не існує.

Вважаємо, що всі числові коефіцієнти не перетворюються на нуль одночасно.

Кількість розв’язків систем в залежності від коефіцієнтів:

один розв’язок, якщо коефіцієнти біля змінних непропорційні

немає розв’язків, якщо коефіцієнти біля змінних пропорційні,а з вільними членами не пропорційні

безліч розв’язків, якщо коефіцієнти та вільні члени пропорційні

Метод підстановки

1)         Виразити з одного рівняння одне невідоме, наприклад, х через у.

2)         Знайдений вираз підставити у друге рівняння системи. отримати рівняння з одним невідомим х та розв’язати його.

3)         Підставити знайдене значення х у вираз для у та знайти другу змінну у.

Приклад

Розв’язок

Відповідь: (6;-1).

Метод алгебраїчного додавання

1) Урівняти модулі коефіцієнтів при деякому невідомому.

2) Додаючи (віднімаючи) почленно рівняння, отримати рівняння з одним невідомим та знайти його.

3) Підставивши знайдене значення в одне з рівнянь системи, знайти друге невідоме.

Приклад:

Розв’язок:

Відповідь: (-5;5).

Графічний метод розв’язку

Кожне рівняння системи задає пряму лінію у прямокутній системі координат. Розв’язок системи залежить від розташування прямих на площині. Прямі можуть перетинатися – тоді система має тільки один розв’язок, прямі паралельні – система не має розв’язків, прямі співпадають – система має безліч розв’язків.

Який метод обрати

Підстановка зручна тоді, коли з одного рівняння легко виразити одну змінну, тобто коефіцієнт при ній дорівнює одиниці або мінус одиниці.

Алгебраїчне додавання працює, коли коефіцієнти при одній змінній однакові або легко зрівнюються множенням. Для лінійних систем це зазвичай найшвидший шлях.

Графічний метод потрібен тоді, коли треба показати кількість розв'язків або оцінити їх наближено. Точні значення він дає рідко, і на тесті я б на нього не покладався.

Для нелінійних систем логіка та сама, але частіше виграє підстановка: одну змінну виражають із простішого рівняння і підставляють у складніше.

Де втрачають бали

• Знаходять x і забувають про y. Відповідь системи це пара чисел, а не одне число.
• Не підставляють знайдені значення назад. Перевірка займає п'ять секунд і ловить більшість арифметичних помилок.
• Помиляються зі знаком при додаванні рівнянь. Якщо віднімаєте, знаки змінюються в усіх доданків другого рівняння, а не лише в першого.
• Втрачають другу пару розв'язків. У нелінійних системах їх часто дві або більше, тому не зупиняйтеся на першій.
• Ігнорують ОДЗ, хоча в системі є дроби або корені.
• Плутають «немає розв'язків» із «безліч розв'язків».

Коротко для повторення

Розв'язок системи з двома невідомими це пара (x₀; y₀). Один розв'язок означає, що прямі перетинаються. Розв'язків немає, коли прямі паралельні, тобто коефіцієнти при змінних пропорційні, а вільні члени ні. Розв'язків безліч, коли прямі збігаються і пропорційні й коефіцієнти, і вільні члени.

Підстановка: виразити, підставити, знайти одну змінну, повернутися за другою. Додавання: зрівняти коефіцієнти, додати або відняти рівняння, знайти одну змінну, повернутися. І в обох випадках наприкінці перевірити пару підстановкою в обидва рівняння.

Часті питання

Скільки розв'язків може мати система двох лінійних рівнянь?

Один, жодного або безліч. Це залежить від того, перетинаються прямі, паралельні вони чи збігаються.

Чим система відрізняється від сукупності?

Система вимагає, щоб виконувалися всі рівняння одночасно, і відповіді перетинають. Сукупність вимагає, щоб виконувалося хоча б одне, і відповіді об'єднують.

Чи можна множити рівняння системи на число?

Так, на будь-яке, крім нуля. Система залишиться рівносильною, і саме на цьому побудований метод алгебраїчного додавання.

Коли графічний метод справді корисний?

Коли потрібно швидко з'ясувати, скільки розв'язків має система, або показати це наочно. Для точної відповіді краще підстановка чи додавання.

Чи буде ця тема на НМТ?

Так, системи рівнянь входять до програми з математики: Математика на НМТ.

Суміжні теми

Розбір прикладів розв'язання рівнянь, рівняння вищих степенів, квадратні нерівності, алгебраїчні вирази.

Відпрацювати тему можна в тестах за темами, повні варіанти в розділі тести НМТ. План підготовки: Підготовка до НМТ.

Розбори завдань і новини про НМТ: t.me/nmt_zno_evi.

Завдання для закріплення

Розв’язати систему лінійних рівнянь способом додавання:

Розв’язати систему нелінійних рівнянь способом підстановки:

Про автора

Андрій Стулішенко, кандидат технічних наук, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Матеріал оновлено 20 вересня 2026 року.