Формули об'ємів усіх тіл: два правила замість семи формул

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Об'єм куба дорівнює кубу ребра, прямокутного паралелепіпеда добутку трьох вимірів, будь-якої призми й циліндра площі основи, помноженій на висоту. Об'єм піраміди й конуса становить третину від цього, а об'єм кулі дорівнює чотирьом третім добутку числа π на куб радіуса. Сім формул насправді тримаються на двох правилах, і куля єдина, яка стоїть окремо.

Усі ці формули є в довіднику НМТ. І все одно задачу про об'єм шухляди, складеної з призм, на нашому пробному НМТ 19 вересня розв'язали лише 6,1 % учасників. Формула там була найпростіша з можливих, а складність полягала в тому, щоб знайти площу основи й висоту.

Правило перше: площа основи на висоту

Уявіть стос однакових аркушів паперу. Його об'єм дорівнює площі одного аркуша, помноженій на висоту стосу. Якщо стос злегка зсунути, щоб він став похилим, аркушів не поменшає і об'єм не зміниться, хоча бічне ребро стане довшим. Звідси дві речі одразу: формула однакова для прямої і похилої призми, і в ній стоїть саме висота, а не бічне ребро.

Циліндр за цим правилом це та сама «призма», тільки з кругом в основі: площа основи дорівнює π, помноженому на квадрат радіуса. Куб і прямокутний паралелепіпед теж окремі випадки, у них площа основи просто добуток двох вимірів.

Правило друге: третина для всього, що звужується до точки

Піраміда й конус звужуються від основи до вершини, і для обох діє та сама третина. Конус займає рівно третину циліндра з тією самою основою і висотою, піраміда третину призми. Це легко перевірити водою: трьома повними конусами наливають циліндр ущерть. Для піраміди є ще наочніше пояснення: куб розрізається на три однакові піраміди, про це ми писали в статті про формули піраміди.

Куля стоїть окремо

Для кулі немає ні основи, ні висоти, тому її формулу просто треба знати. Зате є красивий зв'язок з циліндром, який відкрив ще Архімед: куля займає дві третини циліндра, у який вона вписана, тобто циліндра з радіусом R і висотою 2R. Докладніше про це і про інші тіла обертання є в статті з формулами циліндра, конуса й кулі.

Що стається з об'ємом, коли змінюються розміри

Тут найбільше неочевидного. Якщо всі розміри тіла збільшити в k разів, його об'єм збільшиться в k³ разів, а площа поверхні в k² разів. Подвоєне ребро куба дає не вдвічі, а вісім разів більший об'єм. Радіус кулі втричі більший, об'єм у 27 разів більший.

Найцікавіше з малими змінами. Якщо ребро куба збільшити всього на 10 %, об'єм зросте на 33,1 %, бо 1,1 у кубі дорівнює 1,331. Саме тому великий кавун вигідніший за маленький: шкірка росте як площа, а м'якоть як об'єм.

Коли змінюють лише один розмір, правило інше. Якщо в циліндра подвоїти тільки радіус, а висоту залишити, об'єм зросте вчетверо, бо радіус стоїть у квадраті. Якщо подвоїти тільки висоту, об'єм зросте вдвічі. Перед тим як відповідати, перевірте, у якому степені стоїть той розмір, що змінився.

Одиниці: де губляться нулі

Один літр дорівнює одному кубічному дециметру, тобто тисячі кубічних сантиметрів, а один мілілітр одному кубічному сантиметру. Кубічний метр вміщує тисячу літрів. Звідси найчастіша помилка: сантиметри в кубічні дециметри переводять діленням на десять, хоча ділити треба на тисячу.

Два приклади з розв'язанням

Приклад 1. У циліндричну посудину з радіусом основи 6 см налито воду. У неї опустили металеву кульку радіуса 3 см, і кулька повністю занурилася. На скільки піднявся рівень води?

Вода піднялася рівно на об'єм кульки, тобто додався водяний «циліндр» з тією самою основою і невідомою висотою. Прирівнюємо об'єми, і π скорочується.

Приклад 2. Металевий циліндр з радіусом основи 3 см і висотою 4 см переплавили в конус з тим самим радіусом основи. Яка висота конуса?

Висновок з другого прикладу варто запам'ятати: конус з тією самою основою, що й циліндр, має той самий об'єм лише тоді, коли він утричі вищий.

Найчастіші помилки

У похилій призмі чи піраміді замість висоти беруть бічне ребро. У циліндрі й конусі підставляють діаметр замість радіуса, і об'єм виходить учетверо більшим. У піраміді й конусі забувають третину, особливо після серії задач про призми. У відповіді з π число π залишають, якщо варіанти відповіді записано через π, і не множать на 3,14 без потреби. І одиниці: об'єм у кубічних одиницях, а переходи між ними йдуть через тисячу.

12 задач для самоперевірки

Відповіді на картинці після задач. Якщо у відповіді є π, так його й залишайте.

1. Ребро куба 5 см. Знайдіть його об'єм.

2. Виміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см і 10 см. Знайдіть об'єм.

3. Радіус основи циліндра 3 см, висота 7 см. Знайдіть об'єм.

4. Радіус основи конуса 6 см, висота 5 см. Знайдіть об'єм.

5. Радіус кулі 3 см. Знайдіть її об'єм.

6. Основа піраміди квадрат зі стороною 6 см, висота піраміди 10 см. Знайдіть об'єм.

7. Ребро куба збільшили в 4 рази. У скільки разів збільшився об'єм?

8. Радіус кулі зменшили вдвічі. У скільки разів зменшився об'єм?

9. Радіус основи циліндра збільшили втричі, а висоту не змінили. У скільки разів збільшився об'єм?

10. Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 60 см, 30 см і 40 см. Скільки літрів води він вміщує?

11. Циліндр і конус мають однакові основи й однакові об'єми. Висота циліндра 5 см. Знайдіть висоту конуса.

12. У циліндричну посудину з радіусом основи 4 см опустили металеву кульку радіуса 3 см, і вона повністю занурилася у воду. На скільки сантиметрів піднявся рівень води?

Відповіді

Об'єми в кубічних сантиметрах. Дванадцята задача влаштована так само, як перший приклад, тільки π скорочується вже не до одиниці: рівень піднімається на 2,25 см.

Де потренуватися

Для кожного тіла на сайті є окремий безкоштовний тест у розділі НМТ за темами: «Призма» на 57 завдань, «Піраміда» на 47, «Циліндр» на 29, «Конус» на 23 і «Сфера і куля» на 11. Для роботи на папері є збірник «Стереометрія НМТ, 90 задач з відкритою відповіддю».

Задачу про шухляду з пробного НМТ ми докладно розв'язали в статті з формулами призми. Той самий принцип «розміри в k разів, площа в k²» для плоских фігур розібрано в статті про трикутник на НМТ, а загальні підходи до стереометрії в статті про стереометрію на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Формули звірено з довідковими матеріалами УЦОЯО, результат задачі про шухляду взято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, відповіді до задач перераховано окремо.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 15 жовтня 2026 року. Об'єми многогранників і тіл обертання входять до чинної програми; формат НМТ-2027 на цю дату ще не визначено.