Формули піраміди: об'єм, площа поверхні і три трикутники, до яких зводиться будь-яка задача

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тобто на висоту бічної грані. Площа повної поверхні це бічна поверхня плюс одна основа. Цих трьох формул вистачає на всі шкільні задачі про піраміду.

Дві з трьох формул є в довіднику НМТ, і все одно задачі про піраміду вважаються важкими. Причина в тому, що в умові майже ніколи не дають одразу і площу основи, і висоту. Треба спершу знайти висоту або апофему, а для цього в довіднику немає нічого. Зате всередині правильної піраміди завжди є три прямокутні трикутники, і будь-яка задача зводиться до одного з них.

На рисунку правильна чотирикутна піраміда SABCD. S вершина, O центр основи, SO висота h, SM апофема l, SA бічне ребро b. Відрізок OM дорівнює радіусу r кола, вписаного в основу, а OA радіусу R описаного кола.

Формули об'єму і площі поверхні піраміди

Позначення стандартні: S_осн площа основи, P_осн периметр основи, h висота, l апофема, S_б площа бічної поверхні, S_п площа повної поверхні, V об'єм.

Формула об'єму працює для будь-якої піраміди, хоч правильної, хоч ні. Формула бічної поверхні через апофему тільки для правильної, бо лише в ній усі бічні грані однакові рівнобедрені трикутники з однаковою висотою. В інших пірамідах площі бічних граней рахують по одній і додають.

Звідки третина, теж можна побачити. Куб з ребром a розрізається на три однакові піраміди зі спільною вершиною в одній з вершин куба. Основа кожної з них це грань куба, висота це ребро куба. Три однакові піраміди разом дають куб, отже одна займає рівно третину.

Це й відповідь на питання, чому в піраміди третина, а в призми ні. Піраміда з тією самою основою і висотою, що й призма, займає рівно третину призми, і це правило однакове для всіх «гострих» тіл, конуса теж.

Три трикутники всередині правильної піраміди

У правильній піраміді основа є правильним многокутником, а вершина проєктується в його центр. Центр правильного многокутника одночасно є центром вписаного й описаного кіл, тому від O до середини сторони основи рівно r, а до вершини основи рівно R. Звідси три прямокутні трикутники.

Перший утворюють висота, радіус вписаного кола й апофема: SOM з прямим кутом при O. Другий утворюють висота, радіус описаного кола й бічне ребро: SOA, прямий кут теж при O. Третій лежить у бічній грані: апофема, половина сторони основи й бічне ребро, прямий кут при M. У кожному діє теорема Піфагора, і якщо відомі дві сторони, третя знаходиться за один рядок.

Практичне правило для задачі: подивіться, які дві величини дано, і знайдіть трикутник, у якому вони обидві є. Дано висоту й апофему, працюйте в SOM. Дано бічне ребро й сторону основи, спершу знайдіть R і працюйте в SOA.

Радіуси r і R для основ, які трапляються найчастіше

Трикутники самі по собі нічого не дадуть, якщо не знати, чому дорівнюють r і R. У довіднику цих формул немає, тож для трьох основних випадків їх варто запам'ятати разом із площею основи.

Для квадрата все зрозуміло з рисунка: r дорівнює половині сторони, а R половині діагоналі. Для правильного трикутника центр ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, тому R удвічі більший за r. Правильний шестикутник складається з шести правильних трикутників, тому його R просто дорівнює стороні.

Кути: де шукати нахил ребра і нахил грані

Кут між бічним ребром і площиною основи лежить у трикутнику SOA при вершині A. Кут між бічною гранню і основою, тобто двогранний кут при ребрі основи, лежить у трикутнику SOM при вершині M. Ці два кути постійно плутають, і в тестах часто дають обидва варіанти відповіді.

Є два факти, які стосуються не тільки правильних пірамід. Якщо всі бічні ребра піраміди рівні, її вершина проєктується в центр кола, описаного навколо основи. Якщо всі бічні грані нахилені до основи під однаковим кутом, вершина проєктується в центр вписаного кола. Тому піраміда з прямокутником в основі і рівними бічними ребрами має висоту, що падає в точку перетину діагоналей прямокутника, і задача знову зводиться до трикутника SOA.

Три приклади з розв'язанням

Приклад 1. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди 6 см, висота 4 см. Знайдіть площу бічної поверхні, площу повної поверхні й об'єм.

Дано висоту, а для бічної поверхні потрібна апофема, тому працюємо в трикутнику SOM. Радіус вписаного кола квадрата дорівнює половині сторони, і виходить єгипетський трикутник зі сторонами 3, 4 і 5.

Приклад 2. Сторона основи правильної трикутної піраміди 6 см, бічне ребро 4 см. Знайдіть об'єм.

Тут дано бічне ребро, тож потрібен трикутник SOA і радіус описаного кола. Найчастіша помилка в цій задачі взяти замість R радіус вписаного кола, і тоді висота виходить неправильною.

Приклад 3. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди 6 см, бічні грані нахилені до основи під кутом 60°. Знайдіть апофему, площу бічної поверхні й об'єм.

Кут нахилу грані лежить при точці M, тому з трикутника SOM висота дорівнює r, помноженому на тангенс 60°, а апофема дорівнює r, поділеному на косинус 60°.

Що плутають найчастіше

Найперше висоту піраміди з апофемою. Висота опускається з вершини на основу, апофема на сторону основи в бічній грані, і апофема завжди довша. Друге апофему піраміди з апофемою правильного многокутника з планіметрії: там так називають радіус вписаного кола, тобто зовсім інший відрізок. Третє забуту третину в об'ємі, особливо коли перед цим розв'язували задачі про призму. Четверте дві основи в повній поверхні. У піраміди основа одна, тож додаємо одну площу, а не дві, як у призми.

І п'яте, вже згадане: кут нахилу ребра шукають у трикутнику з бічним ребром, а кут нахилу грані в трикутнику з апофемою. Якщо переплутати, числа вийдуть правдоподібні, і помилку не видно до перевірки відповіді.

12 задач для самоперевірки

У кожній спершу вирішіть, у якому з трьох трикутників працювати. Відповіді на картинці після задач, корені там так і залишено.

1. Площа основи піраміди 18 см², висота 5 см. Знайдіть об'єм.

2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди 10 см, апофема 13 см. Знайдіть площу бічної поверхні й об'єм.

3. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди 8 см, висота 3 см. Знайдіть площу повної поверхні.

4. Сторона основи правильної трикутної піраміди 6 см, висота 5 см. Знайдіть об'єм.

5. Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди 16 см, бічне ребро 10 см. Знайдіть об'єм.

6. Сторона основи правильної шестикутної піраміди 4 см, бічне ребро 5 см. Знайдіть об'єм.

7. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди 6 см, бічні грані нахилені до основи під кутом 45°. Знайдіть об'єм.

8. Усі ребра трикутної піраміди дорівнюють 6 см. Знайдіть її об'єм.

9. Основа піраміди прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см, кожне бічне ребро 13 см. Знайдіть висоту й об'єм.

10. У скільки разів збільшиться об'єм піраміди, якщо всі її ребра збільшити втричі?

11. Об'єм правильної чотирикутної піраміди 48 см³, висота 4 см. Знайдіть сторону основи.

12. Куб з ребром 6 см розрізали на три однакові піраміди зі спільною вершиною. Знайдіть об'єм однієї піраміди.

Відповіді

Площі в квадратних сантиметрах, об'єми в кубічних, довжини в сантиметрах. Якщо не вийшла восьма, підказка така: це правильна трикутна піраміда, у якої бічне ребро дорівнює стороні основи, тож працює трикутник SOA. У дев'ятій вершина проєктується в точку перетину діагоналей прямокутника, бо всі бічні ребра рівні.

Де потренуватися

Безкоштовний тест «Піраміда» у розділі НМТ за темами містить 47 завдань. Формули й трикутники зручно повторювати за колодою флешкарток «Піраміда», а для роботи на папері є PDF-набір «Піраміда» і збірник «Стереометрія НМТ, 90 задач з відкритою відповіддю».

Призма влаштована простіше, бо в ній висоту здебільшого дають одразу, про неї є окрема стаття з формулами призми. Конус поводиться як «кругла піраміда», і його формули зібрано в статті про тіла обертання. Загальні підходи до стереометрії на тесті ми розбирали окремо, у статті про стереометрію на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Формули звірено з довідковими матеріалами УЦОЯО і програмою з математики, відповіді до всіх задач перераховано окремо від розв'язань.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 3 жовтня 2026 року. Піраміда входить до чинної програми з математики; формат НМТ-2027 на цю дату ще не визначено.