Тіла обертання: формули циліндра, конуса й кулі з прикладами і задачами

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Тіло обертання утворюється, коли плоска фігура обертається навколо прямої. Прямокутник, що обертається навколо своєї сторони, дає циліндр, прямокутний трикутник навколо катета дає конус, півкруг навколо діаметра дає кулю. Об'єм циліндра дорівнює πr²h, об'єм конуса з тією самою основою й висотою втричі менший, об'єм кулі дорівнює чотирьом третім πR³, а площа сфери 4πR².

Найважче в цій темі не формули, а осьовий переріз. На нашому пробному НМТ 19 вересня 2026 року учасникам показали рівнобедрений прямокутний трикутник і спитали, осьовий переріз якого тіла на рисунку. Правильно відповіли 41,5 % із 1796 учасників, хоча розв'язання вміщується в одне речення: це конус, у якого радіус основи дорівнює висоті.

Звідки беруться циліндр, конус і куля

Усі три тіла отримують обертанням. Пряма, навколо якої обертають фігуру, стає віссю тіла, а сторона фігури описує його поверхню. Звідси й назви елементів: у циліндра й конуса є радіус основи r і висота h, у конуса ще твірна l, тобто сторона трикутника, яка «малює» бічну поверхню, у кулі радіус R.

Якщо розрізати тіло обертання площиною, що проходить через вісь, вийде фігура, яку обертали, разом із її дзеркальною копією: прямокутник для циліндра, рівнобедрений трикутник для конуса, круг для кулі. Це і є осьовий переріз, і саме через нього розв'язують більшість задач.

Циліндр

Об'єм циліндра дорівнює площі основи, помноженій на висоту, як у призми: V = πr²h. Бічна поверхня в розгортці це прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті, а друга довжині кола основи, тому S_б = 2πrh. Повна поверхня це бічна плюс два круги: S_п = 2πr(r + h). Осьовий переріз циліндра прямокутник зі сторонами 2r і h.

Для прикладу візьмемо циліндр з радіусом 2 см і висотою 5 см. Його об'єм π · 2² · 5 = 20π см³, бічна поверхня 2π · 2 · 5 = 20π см², повна 20π + 2 · 4π = 28π см². Якщо в умові дано діаметр, спершу поділіть його навпіл: радіус, підставлений як діаметр, робить об'єм учетверо більшим.

Конус

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту. Бічна поверхня дорівнює πrl, повна πr(r + l). Радіус, висота й твірна утворюють прямокутний трикутник, у якому твірна гіпотенуза, тому l² = r² + h². Осьовий переріз конуса рівнобедрений трикутник з основою 2r і бічними сторонами l, а розгортка бічної поверхні це сектор круга радіуса l.

Довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи, тому кут сектора дорівнює 360°, помноженим на відношення r до l. Для конуса з радіусом 2 і твірною 8 це чверть круга, тобто 90°.

Приклад. Радіус основи конуса 5 см, висота 12 см. Знайдіть твірну, площу повної поверхні й об'єм.

Тепер задача з пробного. Якщо осьовий переріз рівнобедрений і прямокутний, то кут між твірною й основою дорівнює 45°. Тоді в прямокутному трикутнику з радіусом, висотою й твірною обидва гострі кути по 45°, отже висота дорівнює радіусу. Циліндр тут не підходить, бо його осьовий переріз прямокутник, куля теж, бо її переріз круг.

Зрізаний конус

Якщо від конуса площиною, паралельною основі, відрізати верхівку, лишиться зрізаний конус з двома основами радіусів R і r. Окремої формули для нього в довіднику НМТ немає, і вона не обов'язкова: об'єм зрізаного конуса дорівнює різниці об'ємів великого конуса й відрізаного маленького. Висоту маленького конуса знаходять з подібності трикутників в осьовому перерізі.

Готова формула теж існує, і її зручно пам'ятати, якщо зрізаний конус трапляється часто. На рисунку той самий зрізаний конус пораховано обома способами, і результат, звісно, однаковий.

Куля і сфера

Сфера це поверхня, усі точки якої віддалені від центра на R, а куля це тіло, обмежене сферою. Тому площу рахують для сфери, а об'єм для кулі: S = 4πR², а об'єм дорівнює чотирьом третім πR³. Будь-який переріз кулі площиною це круг. Якщо площина проходить на відстані d від центра, радіус перерізу знаходять за теоремою Піфагора з рівності r² = R² − d².

Площу сфери часто плутають із площею круга. Круг, що проходить через центр кулі, має площу πR², а сфера рівно вчетверо більшу. Це легко запам'ятати на апельсині: шкірки з нього вистачає, щоб викласти приблизно чотири круги такого самого радіуса.

Чому куля займає дві третини циліндра

Архімед вважав своїм найкращим відкриттям зв'язок кулі з циліндром. Візьміть циліндр, у який куля вписана впритул, тобто висота циліндра дорівнює діаметру кулі, і конус з тією самою основою та висотою. Об'єми конуса, кулі й циліндра відносяться як 1 : 2 : 3. Звідси формулу об'єму кулі можна відновити за кілька секунд: циліндр має об'єм πR² · 2R, тобто 2πR³, а куля займає дві третини від нього.

Та сама пара працює й для площ: площа сфери дорівнює площі бічної поверхні описаного циліндра, бо 4πR² = 2πR · 2R.

П'ять помилок, які варто знати в обличчя

Найчастіше плутають радіус і діаметр: в умові дано діаметр основи, а в формулу його підставляють як радіус. Друга помилка: забувають третину в об'ємі конуса. Третя: у бічній поверхні конуса замість твірної ставлять висоту. Четверта: площу сфери рахують як πR². П'ята трапляється в розгортці конуса: кут сектора рахують через відношення l до r замість r до l, і він виходить більшим за повний оберт.

12 задач для самоперевірки

Відповіді після задач. Число π у відповіді залишайте як є, наближено рахувати не треба.

1. Радіус основи циліндра 3 см, висота 5 см. Знайдіть об'єм і площу бічної поверхні.

2. Осьовий переріз циліндра квадрат зі стороною 8 см. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

3. Площа бічної поверхні циліндра 24π см², висота 4 см. Знайдіть об'єм.

4. Радіус основи конуса 3 см, висота 4 см. Знайдіть твірну, площу повної поверхні й об'єм.

5. Твірна конуса 10 см, висота 8 см. Знайдіть об'єм.

6. Осьовий переріз конуса рівносторонній трикутник зі стороною 6 см. Знайдіть площу бічної поверхні.

7. Розгортка бічної поверхні конуса це сектор радіуса 12 см з кутом 120°. Знайдіть радіус основи конуса.

8. Радіус кулі 3 см. Знайдіть об'єм кулі й площу її поверхні.

9. Площа сфери 144π см². Знайдіть об'єм кулі, обмеженої цією сферою.

10. Кулю радіуса 13 см перетнули площиною на відстані 5 см від центра. Знайдіть площу перерізу.

11. Радіуси основ зрізаного конуса 5 см і 2 см, висота 4 см. Знайдіть об'єм.

12. Куля дотикається до обох основ і до бічної поверхні циліндра, об'єм якого 81π см³. Знайдіть об'єм кулі.

Відповіді до задач

1) 45π см³ і 30π см²; 2) 96π см²; 3) 36π см³; 4) 5 см, 24π см² і 12π см³; 5) 96π см³; 6) 18π см²; 7) 4 см; 8) 36π см³ і 36π см²; 9) 288π см³; 10) 144π см²; 11) 52π см³; 12) 54π см³.

Остання задача розв'язується без радіуса, одразу пропорцією Архімеда: куля займає дві третини вписаного в неї циліндра.

Тести, картки й збірники з тіл обертання

У розділі НМТ за темами є три безкоштовні тести: «Циліндр» на 29 завдань, «Конус» на 23 і «Сфера і куля» на 11. Для повторення формул є колоди флешкарток: циліндр, конус, сфера і куля.

Для роботи на папері є PDF-набори «Циліндр», «Конус» і «Сфера і куля», у кожному конспект, два варіанти тестів і симуляція міні-НМТ. У збірнику «Стереометрія НМТ, 90 задач з відкритою відповіддю» 50 задач саме на тіла обертання.

Формули призми з прикладами зібрані в окремій статті про призму, площу круга й довжину кола нагадує стаття про коло й чотирикутники, а загальні підходи до стереометрії на тесті ми розбирали в статті про стереометрію на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського і засновник навчального центру Math Corporation, де до зовнішнього оцінювання готують з 2016 року. Результат задачі про осьовий переріз взято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, а перелік формул довідника з матеріалів УЦОЯО. Відповіді до задач перераховані окремо від розв'язань.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 27 вересня 2026 року. Формули відповідають шкільному курсу стереометрії, а умови НМТ-2027 на цю дату ще не затверджені.