Трикутник на НМТ: шість формул площі і як за умовою зрозуміти, яка потрібна

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Площу трикутника можна знайти шістьма основними способами: через сторону й висоту до неї, через дві сторони й кут між ними, за формулою Герона через три сторони, через півпериметр і радіус вписаного кола, через три сторони й радіус описаного кола, а в прямокутному трикутнику як половину добутку катетів. Яку взяти, підказують дані в умові, а не пам'ять. У задачі майже завжди є рівно стільки даних, скільки потрібно одній з цих формул.

Перші три формули є в довіднику НМТ, разом з теоремою Піфагора, теоремами синусів і косинусів. Останніх двох там немає, як і правила про катет проти кута 30° чи про площі подібних трикутників. Тобто для трикутника довідник закриває приблизно половину потрібного.

Тут a, b, c сторони, h_a висота, проведена до сторони a, γ кут між сторонами a і b, p півпериметр, тобто половина суми трьох сторін, r і R радіуси вписаного й описаного кіл. Формулу для рівностороннього трикутника варто знати окремо: вона виходить з другої, якщо взяти кут 60°.

Як за умовою зрозуміти, яка формула потрібна

Найпростіше розкласти дані умови на «що маю» і знайти формулу, у якій є саме ці величини. Дано сторону і висоту до неї, перша формула. Дано дві сторони й кут, друга, але тільки якщо кут лежить між цими сторонами. Якщо кут не між ними, спершу треба знайти третю сторону або потрібний кут. Дано три сторони, формула Герона. У задачах про вписане чи описане коло працюють четверта й п'ята, і часто в них площа служить містком: її рахують за Героном, а потім з формули через r знаходять радіус.

Прямокутний трикутник і трійки, які варто впізнавати

У прямокутному трикутнику майже все вирішує теорема Піфагора. Але є кілька трійок сторін, які трапляються в задачах так часто, що їх корисно впізнавати з першого погляду: 3, 4, 5, потім 5, 12, 13, далі 8, 15, 17 і 7, 24, 25. Кратні їм теж годяться: 6, 8, 10 або 9, 12, 15. Побачили катети 9 і 12, одразу пишете гіпотенузу 15 і не витрачаєте час на корінь.

Ще два трикутники варто тримати в голові цілком. У трикутнику з кутами 30°, 60° і 90° катет навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи. У рівнобедреному прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет у корінь з двох разів. І факт, про який часто забувають: медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, бо середина гіпотенузи є центром описаного кола.

Теорема синусів чи теорема косинусів

Обидві є в довіднику, тож питання лише в тому, яку застосувати. Теорема синусів потрібна, коли відома сторона і протилежний до неї кут: тоді відоме й співвідношення для будь-якої іншої пари, а заодно радіус описаного кола. Теорема косинусів потрібна, коли відомі дві сторони й кут між ними і треба знайти третю сторону, або коли відомі всі три сторони і треба знайти кут.

З теореми косинусів випливає корисний і не очевидний наслідок. Щоб дізнатися, чи тупий трикутник, не треба рахувати жодного кута. Досить порівняти квадрат найбільшої сторони із сумою квадратів двох інших. Якщо квадрат більший, кут навпроти найбільшої сторони тупий, якщо рівний, прямий, якщо менший, трикутник гострокутний.

Подібні трикутники: площа змінюється в квадраті

Якщо сторони одного трикутника в k разів більші за відповідні сторони іншого, то його площа більша в k² разів. Цієї властивості в довіднику немає, а задачі на неї трапляються регулярно. Найчастіше через середню лінію: вона паралельна стороні і дорівнює її половині, тому відтинає трикутник, подібний до всього з коефіцієнтом одна друга. Площа такого трикутника становить не половину, а чверть площі всього.

Логіка «сторони вдвічі менші, значить і площа вдвічі менша» дає одну з найпоширеніших помилок у цій темі. Для об'ємів подібних тіл, до речі, діє куб коефіцієнта, тож якщо ребро збільшити втричі, об'єм зросте в 27 разів.

Трикутники на пробному НМТ

На нашому пробному НМТ 19 вересня трикутники стояли у двох завданнях з вибором відповіді. У третьому завданні правильний чотирикутник і правильний трикутник мали спільну сторону, і треба було знайти кут α, який доповнює кути цих фігур при спільній вершині до повного кута. Відповідь 210°, бо від 360° віднімаємо 90° квадрата і 60° правильного трикутника. Правильно відповіли 55,5 % учасників.

У чотирнадцятому завданні йшлося про підставку у формі правильного шестикутника, більша діагональ якого 10 см, і треба було знайти периметр. Правильний шестикутник складається з шести правильних трикутників, тому більша діагональ дорівнює двом сторонам, сторона дорівнює 5 см, периметр 30 см. Розв'язали 45,7 %.

Помилки, які повторюються з року в рік

Перша: формулу через дві сторони й синус беруть з кутом, який не лежить між цими сторонами. Друга: у формулі Герона підставляють периметр замість півпериметра, і площа виходить чужою. Третя: у тупокутному трикутнику висоту до меншої сторони шукають усередині, хоча вона падає на продовження сторони. Четверта: плутають r і R, особливо в задачах, де є обидва кола. П'ята вже згадана: площі подібних трикутників ділять у тому самому відношенні, що й сторони.

12 задач для самоперевірки

Перед розв'язанням випишіть, що дано, і тільки тоді обирайте формулу. Відповіді на картинці після задач.

1. Сторона трикутника 12 см, висота, проведена до неї, 7 см. Знайдіть площу.

2. Дві сторони трикутника 8 см і 10 см, кут між ними 30°. Знайдіть площу.

3. Сторони трикутника 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть площу.

4. Катети прямокутного трикутника 9 см і 12 см. Знайдіть гіпотенузу і площу.

5. Сторона рівностороннього трикутника 6 см. Знайдіть площу.

6. Периметр трикутника 30 см, радіус вписаного кола 2 см. Знайдіть площу.

7. Сторони трикутника 5 см, 12 см і 13 см. Знайдіть радіус описаного кола.

8. Дві сторони трикутника 5 см і 8 см, кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону.

9. Сторона трикутника 10 см лежить навпроти кута 30°. Знайдіть радіус описаного кола.

10. Сторони трикутника 4 см, 5 см і 7 см. Гострокутний він, прямокутний чи тупокутний?

11. Середня лінія відтинає від трикутника трикутник площею 6 см². Знайдіть площу всього трикутника.

12. Гіпотенуза прямокутного трикутника 20 см, один з гострих кутів 30°. Знайдіть катети.

Відповіді

Довжини в сантиметрах, площі в квадратних сантиметрах. У десятій задачі квадрат найбільшої сторони, 49, більший за суму квадратів двох інших, 41, тож трикутник тупокутний. У сьомій впізнаємо трійку 5, 12, 13: трикутник прямокутний, а радіус описаного кола прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи.

Де потренуватися

На сайті є три безкоштовні тести за темами: «Трикутник» на 35 завдань, «Прямокутний трикутник» на 85 і «Рівнобедрений трикутник» на 27. Формули зручно повторювати за колодою флешкарток «Трикутник», а для великого обсягу практики є PDF-тренажер «Геометрія. Трикутники» приблизно на тисячу завдань.

Коло й чотирикутники влаштовані за тими самими принципами, про них є окрема стаття про коло й чотирикутники на НМТ. Синуси й косинуси кутів, без яких не обходяться теореми цієї статті, розібрано в тексті про тригонометрію на НМТ, а прямокутні трикутники в просторі живуть у статті про формули піраміди.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік формул звірено з довідковими матеріалами УЦОЯО, результати завдань узято з аналітики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року, відповіді до задач перераховано окремо.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 10 жовтня 2026 року. Трикутники входять до чинної програми з математики; формат НМТ-2027 на цю дату ще не визначено.