Тригонометрія на НМТ: одне коло замість двадцяти формул зведення

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Тригонометрію зазвичай вчать як список із двадцяти формул зведення. Це найгірший можливий спосіб, бо на тесті ви не пригадаєте, куди в sin(180° − α) дівається мінус, і витратите хвилину там, де мало піти десять секунд.

Замість списку потрібне одне коло. З нього всі ці формули читаються, а не згадуються.

Що насправді треба тримати в голові

Шість чисел і чотири знаки. Значення синуса для 0, 30, 45, 60 і 90 градусів: 0, потім 1/2, √2/2, √3/2 і 1. Косинус іде тим самим рядом у зворотному порядку. Тангенс це синус поділити на косинус, тому для 45 градусів він дорівнює одиниці.

Знаки по чвертях запам'ятовуються без мнемонік, якщо думати про координати точки на колі. Синус це висота, тобто координата y. Косинус це горизонталь, координата x. У другій чверті точка ліворуч і вгорі, отже синус додатний, косинус від'ємний. У третій обидва від'ємні, зате тангенс додатний, бо мінус на мінус.

Як це працює на конкретних числах

Порахуємо sin 150°. Сто п'ятдесят градусів це друга чверть, а найближча вісь це 180. Відстань до неї 30 градусів, отже опорне значення береться від 30. Синус у другій чверті додатний. Відповідь 1/2.

Тепер cos 240°. Це третя чверть, найближча вісь 180, відстань 60 градусів. Косинус у третій чверті від'ємний, а cos 60° дорівнює 1/2. Відповідь мінус 1/2.

І tg 225°. Третя чверть, відстань до 180 дорівнює 45, тангенс у третій чверті додатний, tg 45° дорівнює одиниці. Відповідь 1.

Жодної формули зведення я тут не застосував. Тільки чверть, опорний кут і знак.

Одна тотожність, з якої росте половина теми

sin²α + cos²α = 1. Це теорема Піфагора для точки на колі одиничного радіуса, нічого більше.

З неї виводиться все, що зазвичай вчать окремими рядками. Якщо відомий синус, косинус знаходиться з тієї самої рівності. Поділивши обидві частини на cos²α, отримуєте зв'язок тангенса з косинусом. Тому замість трьох формул достатньо однієї та вміння ділити.

Типова задача виглядає так: дано sin α = 3/5, кут у другій чверті, знайти cos α. Квадрат косинуса дорівнює 1 мінус 9/25, тобто 16/25. Отже косинус дорівнює 4/5 за модулем, а в другій чверті він від'ємний. Відповідь мінус 4/5.

Де втрачають бали

Загублений знак. Це причина номер один, і вона майже завжди виникає там, де людина пригадувала формулу замість того, щоб подивитися, у якій чверті лежить кут.

Градуси й радіани. У завданні може стояти π/3, а в таблиці, яку ви вчили, 60 градусів. Це те саме число, але під час тесту цей перехід гальмує. Привчіть себе читати π як 180 градусів, тоді π/3 одразу стає 60, а 3π/4 стає 135.

Рівняння виду sin x = 1/2, де забувають про другу серію коренів. Синус дорівнює половині не тільки при 30 градусах, а й при 150, і обидві серії мають бути у відповіді.

Арккосинус від'ємного числа. arccos(−1/2) дорівнює 120 градусам, а не мінус 60: область значень арккосинуса це проміжок від 0 до 180.

Порядок, у якому це варто вчити

Спершу намалюйте коло від руки й розставте на ньому значення для 0, 30, 45, 60, 90 у всіх чотирьох чвертях. Не переписуйте з підручника, а виведіть самі за знаками координат. Це одна година роботи, яка замінює тиждень зубріння таблиць.

Далі відпрацюйте перехід градуси-радіани на двадцяти прикладах поспіль, доки він не стане автоматичним. Потім основну тотожність і задачі на знаходження другої функції за першою. І тільки в кінці беріться за рівняння.

Формули подвійного кута й суми аргументів лишіть на потім. У форматі НМТ вони трапляються рідше, ніж базові значення, а часу забирають найбільше. Якщо ви ще не закрили чверті й знаки, вчити їх немає сенсу.

Відпрацьовувати зручно в тестах за темами, а значення на колі тримати у флеш-картках. Основа, без якої тригонометрія не піде, це дії з коренями й дробами: про це ми писали в матеріалах про квадратні корені та операції з дійсними числами.

Скільки це важить у тесті

Математичний блок НМТ-2026 містив 22 завдання на 32 бали, поріг становив 15 % від максимуму. Тригонометрія стабільно дає кілька завдань, і вони належать до тих, які беруться механічно, якщо коло в голові є, і не беруться взагалі, якщо його немає.

Що просідає в математиці найсильніше за нашими даними, видно з розбору вересневого пробного, а загальна структура блоку описана тут. Найчастіші помилки зібрані в окремій статті.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Структура тесту звірена з документами УЦОЯО, приклади помилок узяті з розборів на наших заняттях.

Оновлено 1 жовтня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату офіційно не затверджені.