Дії з дійсними числами: дроби, відсотки та порядок дій

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Дії з дійсними числами це чотири арифметичні операції плюс піднесення до степеня і добування кореня. Правила однакові для цілих чисел, для дробів і для коренів.

На тесті бали втрачають не на складних темах. Їх втрачають на дробах, відсотках і порядку дій, тому нижче саме про них. Якщо спершу треба розібратися, які взагалі бувають числа і чим раціональні відрізняються від ірраціональних, почніть звідси: Дійсні числа: види, властивості та числова пряма.

Порядок дій

1. Дії в дужках, від внутрішніх до зовнішніх.
2. Піднесення до степеня і добування кореня.
3. Множення і ділення, зліва направо.
4. Додавання і віднімання, зліва направо.

Найчастіша помилка тут одна й та сама. Множення і ділення мають однаковий пріоритет, тому виконуються зліва направо, а не «спочатку всі множення». Через це 12 ÷ 3 · 2 дорівнює 8, а не 2. Цей приклад я показую на кожному занятті з теми, і щоразу частина групи впевнено відповідає «два».

Дії зі знаками

Сума чисел з однаковими знаками: додаєте модулі й ставите спільний знак. Сума чисел з різними знаками: від більшого модуля віднімаєте менший і ставите знак того числа, у якого модуль більший.

З добутком і часткою простіше. Однакові знаки дають плюс, різні мінус. А мінус перед дужкою змінює знак кожного доданка всередині, не лише першого.

Звідси наслідок, який регулярно коштує балів: (−2)⁴ = 16, а −2⁴ = −16. У першому випадку в степінь підноситься мінус два, у другому лише двійка, а мінус залишається зовні.

Дії з дійсними числами.

Додавання (віднімання) звичайних дробів

Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба знаменник залишити той самий, а чисельники додати (відняти):

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:

       Знайти спільний знаменник ( число , яке ділиться на кожний з даних знаменників), для цього:

-           якщо один знаменник ділиться на другий, то більший буде спільним;

-           якщо знаменники взаємно прості числа (не мають спільних множників), то перемножити їх;

-           розкласти знаменники на множники; перемножити різні множники в найвищій степені;

       знайти і до множити чисельники на додаткові множники для кожного дробу (спільний знаменник поділити на даний знаменник або вибрати множники зі спільного знаменника, яких немає в даному знаменнику);

       додати (відняти) добутки чисельників і додаткових множників;

       спростити (якщо це можливо) одержаний дріб.

Щоб додати (відняти ) мішані числа, треба додати (відняти )цілі частини і дробові частини цих чисел.

Множення дробів

Добутком дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник – добутку знаменників (при можливості скоротити дроби).

Ділення дробів

Ділення дробів замінюється множенням на обернений дріб.

Дії над десятковими дробами.

·           При додаванні ( відніманні) десяткових дробів числа додаються (віднімаються ) порозрядно. В стовпик записуються числа, кома під комою.

·           При множенні десяткових дробів множать числа не зважаючи увагу на кому, в результаті комою відділяють стільки знаків, скільки в обох множниках разом.

·           При діленні десяткових дробів кому переносять в діленому і дільнику так, щоб дільник став цілим.

·           Щоб десятковий дріб записати у вигляді звичайного дробу (мішаного числа), треба число, що стоять до коми, записати цілою частиною; число, що стоїть після коми, записати в чисельник, а в знаменнику поставити одиницю і стільки нулів, скільки стоїть цифр після коми (по можливості дріб скоротити).

·           Щоб записати звичайний дріб у вигляді десяткового, треба чисельник дробу поділити на знаменник.

Приклад:

Розв’язок:

Відсотки

Відсотком ( процентом) числа або величини називається сота частина даного числа або величини.

Будь-яке дійсне число можна представити у вигляді відсотка, помноживши його на 100%:

Навпаки, відсоток можна представити у вигляді числа, поділивши його на 100%:

Знаходження, який відсоток становить одне число а від другого в

Можна скласти пропорцію:

Скільки відсотків становить 28 від 40?

Знаходження р відсотка від даного числа а

Можна скласти пропорцію:

Скільки становить 65% від 600?

Знаходження цілого числа за його відсотком (в% становить р)

Можна скласти пропорцію:

Знайти число, 5% якого становлять 40.

Приклад:

Розв’язок:

б) Знайти число, 0,2% якого становить 

Розв’язок:

Розв’язок:

Де втрачають бали

Найдорожчі помилки цієї теми не мають стосунку до складності. Це звички.

• Додають дроби навхрест. Спільний знаменник обов'язковий, і одна друга плюс одна третя це точно не дві п'ятих.
• Скорочують доданки, а не множники.
• Виконують ділення після множення, хоча вони рівноправні й ідуть зліва направо.
• Плутають −2⁴ і (−2)⁴.
• Додають відсотки до відсотків. Зростання на 20 %, а потім ще на 20 % дає не 40 %, а 44 %.
• Рахують відсоток від неправильної бази. «На скільки відсотків більше» і «скільки відсотків становить» це різні питання з різними знаменниками.
• Забувають спростити результат, хоча у варіантах відповідей дріб зазвичай уже скорочений.

Коротко для повторення

Порядок дій: дужки, потім степені й корені, потім множення і ділення, потім додавання і віднімання. Усередині кожної пари зліва направо.

Якщо спільний знаменник не очевидний, працює універсальна формула a/b + c/d = (ad + bc)/(bd). Ділення на дріб це множення на обернений.

Відсотки: p % від числа a це a · p/100. Яку частку становить a від b, рахують як (a/b) · 100 %. Ціле число за його відсотком: частина помножена на 100 і поділена на p. Зростання на p % це множення на (1 + p/100), спад на (1 − p/100).

Часті питання

Чому 12 ÷ 3 · 2 не дорівнює 2?

Бо множення і ділення рівноправні й виконуються зліва направо: спочатку 12 ÷ 3 = 4, потім 4 · 2 = 8.

Як швидко знайти спільний знаменник?

Якщо один знаменник ділиться на інший, більший і буде спільним. Якщо знаменники взаємно прості, перемножте їх. В інших випадках розкладіть на множники і візьміть кожен множник у найвищому степені.

Ціна зросла на 20 %, а потім впала на 20 %. Вона повернулася до початкової?

Ні, вона стала меншою. Множення на 1,2, а потім на 0,8 дає 0,96 від початкової ціни, тобто на 4 % менше.

Чи можна користуватися калькулятором на НМТ?

Ні. Усі обчислення доводиться робити вручну, тому техніка роботи з дробами й відсотками прямо впливає на бал. Що саме дозволено брати на тест: Що брати на НМТ і що заборонено.

Наскільки часто це трапляється на тесті?

Дроби й відсотки зустрічаються і в самостійних завданнях, і всередині складніших: у рівняннях, функціях, задачах на рух чи роботу. Структура тесту: Математика на НМТ.

Де відпрацювати

Точково потренуватися на завданнях цієї теми можна в тестах за темами, формули зручно повторювати за флешкартками, повні варіанти зібрані в розділі тести НМТ. Покроковий план підготовки: Підготовка до НМТ.

Розбори завдань і новини про НМТ: t.me/nmt_zno_evi.

Завдання для закріплення

Обчислити числові вирази:

Про автора

Андрій Стулішенко, кандидат технічних наук, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади, розбори й перелік типових помилок у цьому матеріалі взяті з наших занять і пробних тестів.

Матеріал оновлено 20 вересня 2026 року.