Дійсні числа: види, властивості та числова пряма

Андрій Стулішенко, викладач математики, Math Corporation.

Дійсні числа це всі числа, які можна зобразити точкою на числовій прямій. Вони діляться на дві групи: раціональні, тобто ті, що записуються дробом m/n, та ірраціональні, які так не записуються. Разом вони заповнюють пряму без жодного проміжку й позначаються буквою R.

Види чисел: від натуральних до дійсних

Числові множини вкладені одна в одну, як матрьошки. Кожна наступна містить попередню й додає щось нове, а весь ланцюжок виглядає так: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Множина натуральних чисел N це числа, які використовуються при лічбі. Нуль до натуральних у шкільній програмі не відносять:

Множина цілих чисел Z — це натуральні числа, протилежні їм та число 0. Саме тут з'являється можливість віднімати без обмежень:

Множина раціональних чисел Q складається з цілих та дробових чисел — усього, що можна записати у вигляді m/n, де m ціле, а n натуральне. Сюди входять десяткові дроби:

звичайні дроби:

і мішані числа:

Ключова ознака раціональності: будь-яке раціональне число можна записати скінченним або нескінченним періодичним десятковим дробом. Це працює і навпаки — усе, що записується таким дробом, є раціональним:

Множину дійсних чисел R утворюють раціональні та ірраціональні числа разом. Це і є всі точки числової прямої:

А будь-яке ірраціональне число записується нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Саме це й відрізняє його від раціонального:

Пастка перша. Корінь не синонім ірраціональності. √9 = 3 і √36 = 6 це цілком раціональні числа. Ірраціональним корінь стає тільки тоді, коли підкореневе число не є точним квадратом.

Пастка друга. Сума чи добуток двох ірраціональних чисел може виявитися раціональним. Наприклад, √2 · √2 = 2, а (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Тож «ірраціональне плюс ірраціональне» автоматично ірраціонального не дає, і на тесті це питання ставлять регулярно.

Властивості дій з дійсними числами

Усі базові закони арифметики виконуються на всій множині R: і для цілих, і для дробів, і для ірраціональних чисел. Саме тому з дійсними числами можна працювати за одними й тими самими правилами, не роблячи винятків для «незручних».

Переставний закон означає, що від перестановки доданків чи множників результат не змінюється. Сполучний дозволяє переставляти дужки в сумі чи добутку. Розподільний дає змогу розкрити множник на кожен доданок у дужках.

Записані формулами, ці закони мають такий вигляд:

Як швидко визначити тип числа

Алгоритм на три кроки, який закриває майже всі тестові завдання на класифікацію.

1. Спробуйте спростити. √16 перетворюється на 4, дріб 0,75 на три чверті, 2⁰ на одиницю. Часто число страшне лише на вигляд.
2. Перевірте, чи записується воно дробом m/n. Якщо так, воно раціональне. Скінченний і періодичний десяткові дроби записуються завжди.
3. Якщо ні, шукайте класичні ірраціональні: корінь із числа, що не є точним квадратом, число π, число e, логарифми на кшталт log₂3.

Кілька прикладів для перевірки себе. Дріб 0,(6) раціональний, бо це дві третини. √49 раціональне, бо це сім. √50 ірраціональне. π/2 ірраціональне. А 22/7 раціональне, попри те що його постійно плутають із π.

Звідси ж відповідь на класичне питання тесту. Число 5 одночасно натуральне, ціле, раціональне й дійсне. Число −7 ціле, раціональне й дійсне, але не натуральне. А √2 тільки дійсне та ірраціональне.

Числова пряма і модуль

Числова пряма це геометрична модель множини R: кожному дійсному числу відповідає рівно одна точка, і навпаки. Саме тому кажуть, що дійсні числа заповнюють пряму без дірок. Між будь-якими двома різними дійсними числами завжди знайдеться ще одне.

Модуль |a| це відстань від точки a до нуля, тому він ніколи не буває від'ємним.

• |a| = a, якщо a ≥ 0
• |a| = −a, якщо a < 0
• |a − b| це відстань між точками a і b на прямій

Остання формула це ключ до більшості завдань із модулем. Запис |x − 3| < 2 читається як «відстань від x до 3 менша за 2», тобто x лежить між 1 і 5. Щойно ви починаєте читати модуль як відстань, завдання з модулем перетворюється на завдання про проміжок, і половина складності зникає.

Проміжки на числовій прямій

Позначення, які треба читати автоматично:

• (a; b) інтервал, кінці не входять
• [a; b] відрізок, кінці входять
• [a; b) і (a; b] півінтервали
• (−∞; b] та [a; +∞) промені; біля нескінченності дужка завжди кругла

Це той мінімум, без якого не розв'язуються нерівності. Як він працює далі, показано в розборах лінійних нерівностей та квадратних нерівностей.

Де втрачають бали

• Вважають будь-який корінь ірраціональним, хоча √36 = 6 цілком раціональне число.
• Відносять нуль до натуральних чисел. У шкільній програмі N починається з одиниці.
• Плутають «від'ємне» і «не натуральне». Число −3 не натуральне, але ціле й раціональне.
• Пишуть |a| = ±a. Модуль це одне конкретне невід'ємне число, а не два варіанти.
• Вважають 22/7 або 3,14 значеннями π. Це наближення, саме π ірраціональне.
• Ставлять квадратну дужку біля нескінченності.

Коротко для повторення

Ланцюжок вкладення N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, а ірраціональні це R без Q. Раціональне число це завжди скінченний або періодичний десятковий дріб, ірраціональне завжди нескінченний неперіодичний. Корінь із n ірраціональний тоді й лише тоді, коли n не є точним квадратом.

Модуль невід'ємний завжди, а |a − b| це відстань між a і b. Кругла дужка означає, що кінець не входить, квадратна що входить, біля нескінченності завжди кругла.

Часті питання

Чи є нуль натуральним числом?

У шкільній програмі ні: натуральні починаються з одиниці. Нуль належить до цілих, раціональних і дійсних.

Як зрозуміти, раціональне число чи ні?

Спробуйте записати його дробом m/n з цілим чисельником і натуральним знаменником. Вийшло, отже раціональне.

Чому √2 ірраціональне?

Бо двійка не є точним квадратом, і такий корінь не записується жодним дробом. Це класичний доведений факт, а не умовність.

Навіщо взагалі знати проміжки?

Бо у відповідях на тесті нерівності записані саме проміжками, і неправильна дужка коштує цілого завдання.

Чи буде ця тема на НМТ?

Так, і не лише окремими завданнями. Числа й проміжки заходять майже в кожну задачу: Математика на НМТ.

Суміжні теми

Дії з дійсними числами, квадратні корені, степінь та його властивості, алгебраїчні вирази.

Відпрацювати тему можна в тестах за темами, повні варіанти в розділі тести НМТ, означення зручно повторювати за флешкартками. План підготовки: Підготовка до НМТ.

Розбори завдань і новини про НМТ: t.me/nmt_zno_evi.

Про автора

Андрій Стулішенко, кандидат технічних наук, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Викладаємо математику й готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади й перелік помилок вище взяті з наших занять і пробних тестів.

Матеріал оновлено 20 вересня 2026 року.