Похідна та інтеграл на НМТ: таблиця замість теорії

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Первісна та інтеграл тримаються в переліку тем, де учасники нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року найчастіше втрачали бали з математики. Це прикро, бо в форматі тесту вони вимагають не розуміння теорії, а вміння читати таблицю у зворотному напрямку.

Ніякої межі, ніякого означення через приріст. Одна таблиця похідних і правило, як іти по ній назад.

Похідна: одне правило замість усієї теорії

Степінь опускається множником уперед, а сам показник зменшується на одиницю. Похідна від x⁵ дорівнює 5x⁴, похідна від x² дорівнює 2x, похідна від самого x дорівнює одиниці.

Стала зникає. Похідна від числа 7 дорівнює нулю, і саме тому похідна від x³ + 7 та сама, що й від x³.

Решта таблиці невелика. Похідна синуса це косинус, косинуса це мінус синус, похідна від eˣ дорівнює самій собі, похідна від натурального логарифма дорівнює 1/x.

Що з цим роблять у завданнях

Питають рідко саму похідну. Питають те, що з неї випливає.

Кутовий коефіцієнт дотичної в точці дорівнює значенню похідної в цій точці. Якщо f(x) = x², то f′(x) = 2x, і дотична в точці x = 3 має нахил 6.

Проміжки зростання й спадання визначаються знаком похідної. Там, де похідна додатна, функція росте, де від'ємна, спадає. Це найчастіше формулювання завдання в усій темі.

Точки екстремуму шукають там, де похідна дорівнює нулю й міняє знак. Розберемо f(x) = x³ − 3x. Похідна дорівнює 3x² − 3, прирівнюємо до нуля, отримуємо x² = 1, тобто x = 1 та x = −1. Ліворуч від мінус одиниці похідна додатна, між мінус одиницею й одиницею від'ємна, праворуч від одиниці знову додатна. Отже в точці −1 максимум, у точці 1 мінімум.

Зверніть увагу, що вся робота тут це одна похідна й перевірка знаків у трьох проміжках. Ніякого аналізу.

Первісна: та сама таблиця навпаки

Первісна відповідає на питання, від чого треба взяти похідну, щоб отримати задану функцію. Тому знайти її означає пройти таблицю у зворотний бік.

Для степеня правило дзеркальне: показник збільшується на одиницю, і на новий показник ділять. Первісна від x² дорівнює x³/3, первісна від x⁴ дорівнює x⁵/5. Плюс стала, бо похідна від сталої нульова й будь-яке число тут підходить.

Перевірка займає секунду: візьміть похідну від відповіді й подивіться, чи вийшло те, з чого починали. У цій темі самоперевірка працює як ніде більше, і майже ніхто нею не користується.

Визначений інтеграл і площа

Визначений інтеграл від a до b дорівнює значенню первісної в точці b мінус її значення в точці a. Геометрично це площа фігури між графіком і віссю.

Порахуємо інтеграл від нуля до двох для функції x². Первісна це x³/3. Підставляємо двійку, отримуємо 8/3. Підставляємо нуль, отримуємо нуль. Відповідь 8/3.

Одна пастка, яку варто знати: якщо графік опускається нижче осі, інтеграл там від'ємний. Тому площа фігури й інтеграл це не завжди те саме число, і в завданнях про площу під віссю беруть модуль.

Чому цю тему пропускають дарма

Вона стоїть у програмі останньою і проходиться навесні одинадцятого класу, коли до тесту лишаються тижні. Багато хто просто не встигає й вирішує, що обійдеться.

Це помилка, і ось чому. У складних темах ви витрачаєте час на розуміння. Тут його витрачати нема на що: правило зі степенем ставиться за двадцять прикладів. Дві-три задачі тесту беруться за один вечір підготовки, і це найкраще співвідношення затрачених годин до балів у всьому блоці.

Моя порада тим, хто вагається: якщо у вас лишився місяць і ви обираєте між первісною та параметрами, беріть первісну. Вона віддає бали, а параметри їх з'їдають.

З чого почати

Випишіть таблицю похідних на один аркуш і тримайте його перед очима, доки не запам'ятаєте. Потім двадцять прикладів тільки на степінь, без функцій. Потім знаки похідної та проміжки зростання. І тільки після цього первісна й інтеграл.

Без упевнених дій зі степенями нічого не вийде: про них є окремий матеріал, а читання графіка ми розібрали в статті про функції та графіки. Відпрацьовувати зручно в тестах за темами.

Повний перелік тем, які просіли на вересневому пробному, лежить тут, структура математичного блоку описана тут.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік тем, де найчастіше втрачають бали, узятий зі статистики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року.

Оновлено 4 жовтня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату не затверджені.