Вектори та координати на НМТ: наймеханічніша тема, до якої не доходять руки

Андрій Стулішенко, PhD, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Вектори й координати це найбільш механічна тема математичного блоку. Три формули, підстановка чисел, відповідь. Жодної потреби бачити конфігурацію, як у геометрії, і жодних обмежень, як у логарифмах.

Тим дивніше, що вектори й координати стоять у переліку тем, де учасники нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року втрачали бали з математики. Це не тема, яку не зрозуміли. Це тема, до якої не дійшли руки.

Три формули на все

Відстань між точками. Різниця координат по горизонталі, різниця по вертикалі, обидві в квадрат, додати, взяти корінь. Для точок (1, 2) і (4, 6) різниці дорівнюють 3 і 4, квадрати 9 і 16, сума 25, корінь 5.

Це просто теорема Піфагора, записана через координати. Якщо тримати це в голові, формулу не треба вчити взагалі.

Середина відрізка. Півсума координат по кожній осі окремо. Для тих самих точок середина це (2,5; 4).

Скалярний добуток. Перемножити перші координати, перемножити другі, додати. Для векторів (2, 3) і (4, −1) отримуємо 8 мінус 3, тобто 5.

Дві перевірки, які роблять в один рядок

Перпендикулярність. Вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Ніяких кутів рахувати не треба.

Візьмемо (2, 3) і (3, −2). Скалярний добуток дорівнює 6 мінус 6, тобто нулю. Отже перпендикулярні. Уся перевірка це одне множення й одне віднімання.

Колінеарність. Вектори лежать на паралельних прямих, якщо їхні координати пропорційні. Практично це означає, що добуток першої координати одного на другу координату іншого дорівнює добутку других навхрест. Для (2, 4) і (3, 6) маємо 2 на 6 дорівнює 12 і 4 на 3 теж 12, отже колінеарні.

Ці дві перевірки закривають більшість завдань теми, і обидві виконуються швидше, ніж читається умова.

Дії з векторами

Додавання й віднімання відбуваються покоординатно. Сума (1, 2) і (3, 4) дорівнює (4, 6). Множення на число теж покоординатне: вектор (1, 2), помножений на три, дає (3, 6).

Координати вектора за двома точками знаходять відніманням: з координат кінця віднімають координати початку. Для точок A(1, 2) і B(4, 6) вектор AB дорівнює (3, 4). Порядок тут принциповий, і саме на ньому найчастіше плутаються: вектор BA дорівнював би (−3, −4).

Довжина вектора рахується так само, як відстань: корінь із суми квадратів координат. Для (3, 4) це п'ять.

Рівняння прямої та кола

Пряма записується як y = kx + b, де k це нахил, а b це точка перетину з вертикальною віссю. Дві прямі паралельні, якщо їхні k однакові, і перпендикулярні, якщо добуток їхніх k дорівнює мінус одиниці.

Коло з центром у точці (a, b) і радіусом R задається рівнянням (x − a)² + (y − b)² = R². Тут працює та сама пастка зі знаком, що й у перетвореннях графіків: центр кола x² + (y − 3)² = 4 лежить у точці (0, 3), а не (0, −3), і радіус дорівнює двом, а не чотирьом.

Про зсуви графіків і мінус у дужках ми писали докладніше в статті про функції та графіки.

Чому тему пропускають

Вона стоїть у програмі поряд зі стереометрією й часто сприймається як її частина, а стереометрія лякає. Через це вектори не встигають відпрацювати, хоча вони вдвічі простіші.

Порада, яку даю всім, хто готується в обмежений час: якщо перед вами вибір між векторами й будь-якою іншою темою з переліку слабких, беріть вектори першими. Вони набираються за один вечір і майже не забуваються, бо тут нема чого забувати, крім трьох формул.

Прямокутний трикутник, на якому все тримається, розібраний у матеріалі про стереометрію, а дії з коренями в статті про квадратні корені. Відпрацьовувати зручно в тестах за темами.

Повний перелік тем, які просіли на вересневому пробному, лежить тут, а структура математичного блоку описана тут.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, складники НМТ і характеристика тесту з математики — testportal.gov.ua
• Міністерство освіти і науки України — mon.gov.ua

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік тем, де найчастіше втрачають бали, узятий зі статистики нашого пробного НМТ 19 вересня 2026 року.

Оновлено 6 жовтня 2026 року. Умови проведення НМТ-2027 на цю дату не затверджені.