Більшість проблем зі шкільною математикою починаються з дробів 5–6 класу

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Коли старшокласник каже, що «не розуміє алгебру», у більшості випадків він не розуміє дробів. Не логарифмів і не похідних, а того, що проходили у 5 і 6 класах: що таке дріб, як його порівняти з іншим, як знайти частину від числа і що відбувається під час ділення на дріб. Уся подальша математика стоїть на цьому поверсі. Відношення, відсотки, раціональні вирази, від'ємні й дробові степені, ймовірність, значення синуса, усе це дроби в іншому одязі.

Ось число, яке добре це показує. На НМТ-2026 друге завдання з математики було таким: Дарина витратила на сир і фрукти 240 грн, за сир заплатила три п'ятих цієї суми, скільки коштували фрукти? Це задача з підручника 6 класу. Правильну відповідь, 96 грн, дали 58,0 % учасників. Тобто майже кожен другий випускник, який прийшов на тест з математики, не знайшов частину від числа.

Розв'язання займає два рядки: 240 ділимо на 5 частин по 48 грн, сир це три частини, фрукти дві, тобто 96 грн. Найпопулярнішою хибною відповіддю, яку обрали 17,9 %, було 60 грн. Директорка УЦОЯО Тетяна Вакуленко, коментуючи результати для медіа, пояснювала провал з математики саме так: у школярів серйозні прогалини з базових тем 5 і 6 класу, насамперед дробів, відсотків і звичайних текстових задач.

Що про це кажуть дослідження

Найвідоміше дослідження на цю тему провів Роберт Сіґлер з колегами у 2012 році. Вони взяли дві великі вибірки, 3677 дітей у Великій Британії і 599 у США, і подивилися, що саме у віці від 10 до 12 років передбачає успіхи в алгебрі й математиці загалом у 15–17 років. Сильніше за все спрацювали знання дробів і ділення. Навіть після того, як врахували рівень інтелекту, робочу пам'ять, дохід родини й освіту батьків, зв'язок лишився. А от уміння додавати, віднімати й множити цілі числа передбачало майбутню алгебру значно слабше.

У 2008 році Національна консультативна рада з математики США (National Mathematics Advisory Panel) у фінальній доповіді написала прямо: вільне володіння дробами є фундаментом для алгебри, а труднощі з дробами поширені повсюдно і є головною перешкодою для подальшого просування в математиці. Показовий приклад звідти ж, з американського національного моніторингу 1978 року. Восьмикласників попросили оцінити суму двох дробів, близьких до одиниці, і вибрати найближче число з варіантів 1, 2, 19 і 21.

Правильну відповідь 2 обрали лише 24 % учнів. Значна частина додала чисельники або знаменники, тобто сприйняла дріб як пару окремих чисел. У 2014 році те саме завдання дали невеликій групі восьмикласників, які вже вивчали алгебру, і правильно відповіли 27 %.

В Україні картина схожа. У PISA-2025 46 % українських п'ятнадцятирічних учасників не досягли базового рівня з математики. Ще після PISA-2018 МОН описувало цих учнів так: вони мають проблеми із завданнями, де треба оперувати дробами, десятковими числами й відсотковими співвідношеннями.

Де саме ламається розуміння

Перший злам стається, коли дріб сприймають не як одне число, а як два числа, записані одне над одним. Звідси класичне «одна п'ята більша за одну третю, бо 5 більше за 3». Дитина переносить на дроби правила цілих чисел, і в дослідженнях це навіть має назву: упередження цілих чисел. Лікується воно числовою прямою. Коли учень бачить, що одна третя стоїть правіше за одну п'яту, питання зникає.

Другий злам стосується дій. «Множення збільшує, ділення зменшує» чесно працює для натуральних чисел, і багато хто так і проносить це правило до випускного. Але поділити на одну другу означає помножити на два, а третина від'ємного числа більша за саме число.

На нашому пробному НМТ 19 вересня було саме таке завдання: розв'язати нерівність, у якій третина числа x більша за x. Правильно відповіли 34,8 % учасників. Відповідь «x менше нуля» здається дивною лише тому, кого переконали, що ділення завжди зменшує.

Третій злам це відсотки й відношення, тобто ті самі дроби з іншим записом. «На 200 % більше» означає втричі більше, а не вдвічі. У задачі з пробного НМТ про бюджет із такою умовою правильну відповідь дали 29,1 %, ще 37,1 % задачу пропустили. Задачу на відношення, де треба було знайти найменшу кількість спортсменів за двома пропорціями, розв'язали 39,1 %.

Як дроби виглядають в 11 класі

Старшокласник рідко помічає, що буксує саме на дробах, бо вони ховаються всередині «страшних» тем. Логарифм з основою 0,5 це логарифм з основою одна друга, а одна друга це 2 в мінус першому степені. Від'ємний степінь це дріб, дробовий степінь це корінь. Скорочення раціонального виразу це те саме скорочення дробу з 6 класу, тільки з буквами. Ймовірність записують дробом, синус 30° дорівнює одній другій.

Перше завдання нашого пробного НМТ, рівняння з логарифмом за основою 0,5, розв'язали 33,3 % учасників. Сам логарифм там елементарний. Задача розв'язується, щойно учень бачить у 0,5 дріб одна друга.

Повертатися до дробів не соромно

Моя позиція тут не всім сподобається. Я б не радив старшокласнику, який «пливе» в алгебрі, починати з логарифмів, тригонометрії чи задач з параметром. Два-три тижні на дроби дадуть більше, ніж місяць на теми 11 класу, які стоять на тому самому хиткому фундаменті. Повертатися до програми 6 класу у 16 років психологічно неприємно, і саме тому цей крок так часто пропускають. На заняттях ми бачимо це регулярно: коли в учня «не йдуть» логарифми, дуже часто причина в дробах, і після них справа зрушує.

Для батьків висновок такий самий. Якщо дитина в 7 чи 8 класі раптом «перестала розуміти математику», перевірте не нову тему, а дроби. Найчастіше тріщина там.

Перевірте себе за 10 хвилин

Без калькулятора і без чернетки з підказками. Перші сім завдань на картинці, останні три текстом. Якщо правильних відповідей менше семи, починати варто з дробів, навіть якщо до НМТ лишилося кілька місяців.

8. Скільки становлять три п'ятих від 240?

9. Ціну товару спершу підвищили на 20 %, а потім знизили на 20 %. Як змінилася ціна порівняно з початковою?

10. За яких значень x третина числа x більша за саме число x?

Відповіді

8) 144; 9) ціна зменшилася на 4 %; 10) за всіх від'ємних x.

У сьомому завданні точну суму рахувати не треба: кожен з дробів трохи менший за одиницю, тому сума трохи менша за 2. Якщо ви обрали 17 або 19, ви додали чисельники чи знаменники, і це найважливіший сигнал з усього тесту.

Що робити, якщо дроби «пливуть»

Порядок має значення. Спершу числова пряма: розставити на ній одну другу, одну третю, дві третіх, три четвертих, п'ять четвертих і пояснити, чому вони стоять саме так. Потім основна властивість дробу і скорочення, далі спільний знаменник і додавання. Множення й ділення краще проходити з картинками, а не з правилом «перевернути другий дріб», інакше воно забудеться через тиждень. Наостанок частина від числа, число за його частиною, відсотки й пропорції. Якщо займатися щодня хоча б по пів години, на все йде два-три тижні.

Для такої роботи в нас є PDF-тренажери «Дроби», «Раціональні числа» і «Відсотки», у кожному близько тисячі завдань від простих до рівня НМТ. Перевірити себе онлайн можна в безкоштовних тестах «Властивості дій з дійсними числами» на 101 завдання і «Відношення, пропорції та відсотки» на 42 завдання. Правила дій з дробами й відсотками коротко зібрано в статті про дії з дійсними числами, а пастку з відсотками, коли плюс 20 % і мінус 20 % дають 96 %, ми розбирали в статті про текстові задачі на НМТ.

У курсі підготовки до НМТ з математики перед основною програмою є окремий вступний урок з дробів, саме з тієї причини, про яку ця стаття. А батькам, які хочуть розібратися, як узагалі влаштований тест і що означає поріг, радимо текст про НМТ для батьків.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Дані про НМТ-2026 взято з другого тому офіційного звіту УЦОЯО, результати пробного НМТ 19 вересня 2026 року з нашої аналітики, а дослідження наведено за оригінальними публікаціями.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II (PDF): testportal.gov.ua
• МОН, результати України в дослідженні PISA-2025: mon.gov.ua
• МОН про результати PISA-2018: mon.gov.ua
• Siegler R. S. та ін. Early predictors of high school mathematics achievement, Psychological Science, 2012: doi.org
• National Mathematics Advisory Panel, Foundations for Success, 2008 (PDF): files.eric.ed.gov

Опубліковано 1 жовтня 2026 року.