Обернена матриця. Як її знайти й перевірити множенням на вихідну

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Для числа 2 оберненим є 0,5, бо 2 · 0,5 = 1. Обернена матриця A⁻¹ працює так само. Добуток квадратної матриці A на A⁻¹ дорівнює одиничній матриці E в будь-якому порядку, тобто A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E. У матриці E на головній діагоналі, що йде з лівого верхнього кута в правий нижній, стоять одиниці, а решта чисел дорівнює нулю.

Обернена існує тоді й тільки тоді, коли визначник det A ≠ 0. Для матриці 2 × 2 числа на головній діагоналі міняють місцями, двом іншим змінюють знак і все ділять на визначник. А для більших матриць, починаючи з 3 × 3, A⁻¹ дорівнює транспонованій матриці алгебраїчних доповнень, поділеній на det A.

Алгебраїчним доповненням Aᵢⱼ називають визначник матриці, що лишається після викреслення i-го рядка та j-го стовпця, узятий зі знаком (−1)ⁱ⁺ʲ. Транспонування перетворює рядки на стовпці. Інший шлях дає метод Гаусса, у якому до A справа дописують E, а потім перетворюють рядки.

Серед чисел оберненого не має лише нуль, а з матрицями інакше. Матриця може не містити жодного нуля, але оберненої не мати. У матриці з рядками 2, 4 і 1, 2 визначник 2 · 2 − 4 · 1 = 0, тому оберненої в неї немає.

Знайдену обернену перевіряють за означенням. Добуток вихідної матриці на знайдену має дати E, і досить одного неправильного числа на діагоналі чи поза нею, щоб побачити помилку. Як множать матриці рядок на стовпець, пояснено в статті про множення матриць.

Матриця 2 × 2 з визначником 1

Візьмемо матрицю з рядками 2, 1 і 5, 3. Її визначник 2 · 3 − 1 · 5 = 1, тому ділити не доведеться. Двійка й трійка міняються місцями, а одиниця й п'ятірка отримують мінус.

Перевірка складається з чотирьох сум, і кожна дає 1 на діагоналі та 0 поза нею. Наприклад, перший рядок на перший стовпець дає 2 · 3 + 1 · (−5) = 1, а перший рядок на другий стовпець 2 · (−1) + 1 · 2 = 0.

У правилі «поміняти діагональ і змінити знаки» вже сховане транспонування. Алгебраїчні доповнення цієї матриці дорівнюють A₁₁ = 3, A₁₂ = −5, A₂₁ = −1, A₂₂ = 2. Якби поставити їх на свої місця без транспонування, перший рядок був би 3, −5, а не 3, −1.

Коли оберненої матриці немає

Чому при нульовому визначнику оберненої немає, видно з того, що визначник добутку матриць дорівнює добутку їхніх визначників. З рівності A · A⁻¹ = E випливає, що det A · det A⁻¹ = det E = 1. Якщо det A = 0, ліворуч завжди буде нуль, і жодна матриця не підійде. Та сама рівність показує, що det A⁻¹ дорівнює одиниці, поділеній на det A.

У матриці з рядками 2, 4 і 1, 2 перший рядок удвічі більший за другий. Такі рядки лінійно залежні, і визначник через це нульовий. Матрицю з нульовим визначником називають виродженою.

Три кроки для матриці 3 × 3

Нехай тепер A має рядки 1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0. Перший крок найдовший, бо знадобляться всі дев'ять алгебраїчних доповнень. Кожне з них є визначником 2 × 2 після викреслення рядка й стовпця, а знак плюс ставлять, коли сума номерів рядка й стовпця парна, і мінус, коли непарна.

Доповнення першого рядка, −24, 20 і −5, заразом дають визначник, бо 1 · (−24) + 2 · 20 + 3 · (−5) = 1. Усі дев'ять доповнень записують у матрицю C на ті самі місця. Другий крок найважливіший. Це транспонування, після якого доповнення першого рядка стають першим стовпцем. На третьому кроці все ділять на det A, а ділення на 1 нічого не змінює.

Перевірка множенням дає одиничну матрицю, і це не збіг. Кожне число на діагоналі добутку A · Cᵀ є розкладом визначника за відповідним рядком, тож дорівнює det A. Поза діагоналлю числа одного рядка множаться на доповнення іншого, наприклад 1 · 18 + 2 · (−15) + 3 · 4 = 0, і такі суми завжди нульові.

Що покаже перевірка, якщо забути транспонувати

Пропущене транспонування нічим себе не видає. Усі дев'ять доповнень у матриці C пораховано правильно, знаки на місці, матриця виглядає охайно. Помилку видно тільки після множення.

Уже перший елемент добутку дорівнює 1 · (−24) + 2 · 18 + 3 · 5 = 27 замість 1. Транспонування найчастіше пропускають саме тоді, коли решту пораховано без жодної помилки.

Є й підступніший випадок. Для симетричної матриці, де aᵢⱼ = aⱼᵢ, матриця доповнень теж симетрична, тож пропущений крок ні на що не вплине. Звичка транспонувати на таких прикладах непомітно зникає, а на першій несиметричній матриці це дасть неправильну відповідь.

Метод Гаусса без доповнень

Другий спосіб обходиться без доповнень. Справа до A дописують одиничну матрицю й перетвореннями рядків зводять ліву половину до E. Тоді права половина і є A⁻¹. Дозволено міняти рядки місцями, множити рядок на ненульове число й додавати до рядка інший рядок, помножений на число.

Для матриці з рядками 2, 1 і 5, 3 вистачило трьох дій, і справа з'явилися ті самі числа 3, −1, −5 і 2. Римськими цифрами на рисунку позначено рядки. З матрицею 4 × 4 я б працював саме так, бо доповнень там шістнадцять, і кожне з них є визначником 3 × 3.

Система рівнянь як одне рівняння AX = B

Систему 2x + y = 4, 5x + 3y = 11 записують одним рівнянням AX = B. Тут A складається з коефіцієнтів, X є стовпцем невідомих, а B стовпцем вільних членів. Як систему переводять у таку форму, показано в статті про матриці. Множимо обидві частини на A⁻¹ зліва й отримуємо X = A⁻¹B.

Розв'язок x = 1, y = 2, і підстановка це підтверджує, бо 2 · 1 + 2 = 4 і 5 · 1 + 3 · 2 = 11. Важливо, з якого боку множити. З рівняння XA = B випливає X = BA⁻¹, а не A⁻¹B, бо добуток матриць залежить від порядку множників. Коли det A = 0, цей спосіб не працює, і чи має система розв'язки, з'ясовують через ранг матриці.

Обернена до добутку йде у зворотному порядку

Якщо матриці A і B мають обернені, то (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, тобто множники міняються місцями. Перевірити це можна множенням, бо AB · B⁻¹A⁻¹ = A · E · A⁻¹ = E. Інші властивості коротші, (A⁻¹)⁻¹ = A і (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.

Я раджу перевіряти обернену множенням щоразу. Для 3 × 3 це дев'ять сум по три добутки, і хвилини на них вистачає. Якщо часу зовсім мало, порахуйте хоча б перший рядок добутку. У прикладі вище помилку видно вже в першому числі.

Шість вправ на обернену матрицю

У четвертій знайдіть k, за якого оберненої матриці не існує, а в шостій скористайтеся правилом для оберненої до добутку.

Кожну знайдену обернену можна перевірити множенням на вихідну матрицю.

Відповіді

Числа 3, −1, −4 і 2 у другій означають, що ви забули поділити на визначник 2. Нулі над діагоналлю в третій видають пропущене транспонування, бо в оберненої до цієї матриці нулі, як і у вихідній, стоять під діагоналлю. Рядки 3, 1 і 1, 1 у шостій виходять, коли множники беруть у порядку A⁻¹B⁻¹.

Збірник для самостійної роботи

Обернену матрицю разом із визначниками, рангом і системами лінійних рівнянь відпрацьовує PDF-збірник «Матриці». Перш ніж братися за вправи, там можна розібрати розв'язані приклади, а свої відповіді звірити з тими, що в кінці. Є також контрольна робота й тест.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Обидва способи, через алгебраїчні доповнення і методом Гаусса, входять до програми першого курсу, а кожну обернену матрицю в статті перевірено множенням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• Булдигін В. В. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Навчальний посібник. Київ, 2011: ela.kpi.ua

Матеріал підготовлено 12 жовтня 2026 року. Тема «Обернена матриця» входить до першого розділу курсу лінійної алгебри для технічних спеціальностей.