Визначник матриці, мінор і алгебраїчне доповнення. У 3×3 рядок із двома нулями втричі скорочує роботу

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Визначник матриці 2 × 2 з рядками 3, 1 і 2, 4 дорівнює 3 · 4 − 1 · 2 = 10. Від добутку чисел на головній діагоналі, що йде з лівого верхнього кута в правий нижній, віднімають добуток чисел на побічній діагоналі. Позначають визначник det A або записують матрицю між вертикальними рисками. У загальному вигляді det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁, де aᵢⱼ означає число в i-му рядку та j-му стовпці.

Визначник 3 × 3 рахують за правилом трикутників або розкладом за рядком, det A = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃. Мінором Mᵢⱼ називають визначник матриці, що лишається після викреслення i-го рядка та j-го стовпця. Алгебраїчне доповнення Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ, тобто це той самий мінор зі знаком плюс або мінус.

Візьміть числа від 1 до 9 і запишіть їх підряд по рядках у таблицю 3 × 3. Визначник такої матриці дорівнює нулю. Досить замінити останню дев'ятку на 10, і він стане −3.

Правило трикутників дає шість добутків по три множники. Зі знаком плюс беруть головну діагональ і два трикутники, у яких одна сторона паралельна цій діагоналі. Зі знаком мінус так само беруть побічну діагональ і два трикутники біля неї. У кожному добутку є рівно одне число з кожного рядка й рівно одне з кожного стовпця.

Визначник мають лише квадратні матриці, де рядків стільки ж, скільки стовпців. Як записують матриці й що означають індекси, пояснено в статті про матриці та дії з ними. У курсі лінійної алгебри визначники йдуть одразу після дій над матрицями, і на них спираються обернена матриця та правило Крамера.

Мінор, доповнення й шахівниця знаків

Щоб знайти мінор M₁₂, у матриці викреслюють перший рядок і другий стовпець. Із чотирьох чисел, що лишилися, рахують визначник 2 × 2. Алгебраїчне доповнення відрізняється від мінора тільки знаком, а знак зручно брати із шахівниці. У лівому верхньому куті стоїть плюс, далі плюси й мінуси чергуються.

Для матриці B з рядками 1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 10 мінор M₁₂ = 4 · 10 − 6 · 7 = −2. Клітинка в першому рядку й другому стовпці на шахівниці має мінус, тому A₁₂ = 2. У розкладі за першим рядком знаки йдуть як плюс, мінус, плюс, і середній доданок завжди бере мінор із протилежним знаком.

Правильний розклад дає 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · (−3) = −3. Хто підставить мінори замість доповнень, отримає −11. На заняттях найчастіше губиться саме цей мінус перед другим доданком. Помилку ловить правило трикутників, бо за ним теж виходить −3.

Два нулі в рядку й один мінор замість трьох

Розкладати можна за будь-яким рядком і за будь-яким стовпцем, відповідь буде та сама. Тому спершу шукають рядок або стовпець, де найбільше нулів. У матриці з першим рядком 2, 0, 0 два доданки з трьох дорівнюють нулю ще до обчислень.

Лишається один мінор, і він дорівнює 3 · 2 − 4 · (−1) = 10, тож визначник дорівнює 2 · 10 = 20. Звичайний розклад за рядком вимагає трьох мінорів і дев'яти множень, а тут множень три, тобто втричі менше. Правило трикутників дає ту саму відповідь 12 + 8 = 20, але з його шести добутків чотири містять нуль із першого рядка.

Як отримати нулі, коли їх немає

Нулі можна створити. Якщо до рядка додати інший рядок, помножений на будь-яке число, визначник не зміниться. У матриці B від другого й третього рядків віднімемо перший, а потім від третього подвоєний другий. На рисунку рядки позначено римськими цифрами.

У третьому рядку тепер стоять 0, 0 і 1, і знову потрібен лише один мінор, 1 · 3 − 2 · 3 = −3. Відповідь та сама, що й у розкладі з трьома мінорами.

З дев'яткою в правому нижньому куті ті самі дві дії дають рядок із трьох нулів, тому визначник матриці із числами від 1 до 9 дорівнює нулю. Її рядки утворюють арифметичну прогресію, третій відрізняється від другого на те саме, що й другий від першого. Тож сума першого й третього рядків дорівнює подвоєному другому, а такі рядки лінійно залежні.

Які дії змінюють визначник, а які ні

Перестановка двох рядків змінює знак визначника, а рядок із нулів або два пропорційні рядки дають нуль. Спільний множник рядка виносять за знак визначника. Транспонування, тобто заміна рядків стовпцями, визначника не змінює, тож усе сказане про рядки справджується й для стовпців.

Найменш очевидний рядок таблиці стосується множення всієї матриці на число. Множник λ виноситься з кожного рядка окремо, тому визначник матриці n × n множиться на λⁿ. Для 2 × 2 подвоєння дає множник 4, як у таблиці, а для 3 × 3 уже 2³ = 8.

Остання властивість, det(AB) = det A · det B, означає, що det(AB) = det(BA) навіть тоді, коли AB ≠ BA. Сам добуток матриць від порядку множників залежить, а його визначник ні.

Площа паралелограма на стовпцях

Модуль визначника 2 × 2 дорівнює площі паралелограма, побудованого на стовпцях матриці як на векторах. Для матриці з рядками 3, 1 і 2, 4 стовпці дають вектори (3; 2) і (1; 4), а площа дорівнює 10.

Паралелограм на рядках (3; 1) і (2; 4) має іншу форму, але таку саму площу, бо det Aᵀ = det A. Обидві площі можна перевірити за клітинками. Для лівого рисунка від прямокутника 4 × 6 відрізають два трикутники по 3 клітинки, два по 2 і два прямокутники по 2, і 24 − 6 − 4 − 4 = 10.

Для матриці 3 × 3 модуль визначника дорівнює об'єму паралелепіпеда на трьох векторах. Саме так об'єм рахують через мішаний добуток, а нульовий визначник означає, що три вектори лежать в одній площині.

Чому правило трикутників не годиться для 4 × 4

Повний вираз визначника n × n містить n! доданків, тобто 2 для 2 × 2, 6 для 3 × 3, 24 для 4 × 4 і 3 628 800 для 10 × 10. Що означає знак оклику після n, пояснює стаття про факторіал. Схема з діагоналями для 4 × 4 дала б лише 8 добутків замість 24, тому вона неправильна. Такі визначники розкладають за рядком або зводять до трикутного вигляду, коли під головною діагоналлю стоять самі нулі, і тоді визначник дорівнює добутку чисел на діагоналі.

Я раджу перед обчисленням кілька секунд подивитися на матрицю. Нульовий рядок, пропорційні рядки чи однакова різниця між сусідніми рядками часто дають відповідь без жодного мінора. Правило трикутників я б залишив для перевірки, бо в шести добутках по три множники помилитися зі знаком простіше, ніж у розкладі.

Визначники в системі двох рівнянь

Правило Крамера дає розв'язок системи лінійних рівнянь через визначники. Для системи 3x + y = 9, x + 2y = 8 головний визначник Δ складають із коефіцієнтів при x і y. У Δ₁ перший стовпець замінюють вільними членами 9 і 8, а в Δ₂ так само замінюють другий. Тоді x дорівнює Δ₁, поділеному на Δ, а y дорівнює Δ₂, поділеному на Δ.

Виходить Δ = 5, Δ₁ = 10 і Δ₂ = 15, тож x = 2 і y = 3. Підстановка це підтверджує, бо 3 · 2 + 3 = 9 і 2 + 2 · 3 = 8. Правило працює лише тоді, коли Δ ≠ 0. Ту саму систему можна розв'язати через обернену матрицю, і умова там та сама.

Порахуйте шість визначників

У третьому завданні стежте за знаком доповнення, а в четвертому спершу створіть нулі в першому стовпці.

Шосте розв'язується без обчислень, за таблицею властивостей.

Відповіді

Відповідь −16 у третьому означає, що взяли мінор без знака із шахівниці. Якщо в шостому вийшло 6, визначник подвоїли один раз, хоча двійка виноситься з кожного з трьох рядків.

Більше визначників для практики

Визначникам присвячено окремий розділ збірника «Матриці». Спершу там ідуть докладно розібрані приклади, а за ними вправи для самостійного розв'язування з відповідями наприкінці.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Визначники розібрано в обсязі першого курсу технічних університетів, а всі приклади й вправи перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• Булдигін В. В. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Навчальний посібник. Київ, 2011: ela.kpi.ua

Дата публікації 12 жовтня 2026 року. У курсі лінійної алгебри визначники йдуть після дій над матрицями й перед оберненою матрицею.