Лінійно залежні вектори й базис. На площині будь-які три вектори залежні

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Вектори a₁, a₂, …, aₙ лінійно залежні, якщо існують числа λ₁, λ₂, …, λₙ, не всі рівні нулю, для яких λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λₙaₙ = 0, де праворуч стоїть нульовий вектор. Інакше кажучи, хоча б один із цих векторів виражається через інші. Так, вектори p(1; 3) і q(2; 6) залежні, бо q = 2p, тобто 2p − q = 0. Якщо ж рівність можлива лише тоді, коли всі λ дорівнюють нулю, вектори лінійно незалежні.

Базис на площині утворюють будь-які два неколінеарні вектори, тобто такі, що не лежать на одній прямій чи на паралельних прямих. У просторі базис утворюють будь-які три некомпланарні вектори, які не паралельні жодній спільній площині. Кожен вектор розкладається за базисом, причому єдиним способом.

З одним базисом ви працювали ще в школі, хоч так його й не називали. Координати вектора d(2; −1; 5) і є коефіцієнтами його розкладу d = 2i − j + 5k, де i, j, k одиничні вектори осей Ox, Oy, Oz.

Два вектори залежні тоді й тільки тоді, коли вони колінеарні, а три тоді й тільки тоді, коли компланарні. Помаранчевий вектор у перших двох групах виражається через сині, а в третій групі такого вектора немає. Як перевіряти колінеарність і компланарність за координатами, пояснює стаття про колінеарні й компланарні вектори.

Нульовий вектор робить залежним будь-який набір. У рівності 1 · 0 + 0 · a + 0 · b = 0 коефіцієнт при нульовому векторі дорівнює 1, тож вектори 0, a, b залежні, хай якими будуть a і b. Тому до базису нульовий вектор не входить ніколи.

Чому на площині третій вектор завжди зайвий

Відкладемо від точки O два неколінеарні вектори a і b та будь-який третій вектор c. Через кінець c проведемо прямі, паралельні a і b. Вони перетнуть прямі, на яких лежать a і b, і відріжуть на них вектори xa та yb, де x і y деякі числа. За правилом паралелограма c = xa + yb, а в рівності c − xa − yb = 0 коефіцієнт при c дорівнює 1, тож трійка залежна.

На малюнку a(1; 2), b(3; 1) і c(7; 4). Пряма через кінець c, паралельна a, перетинає пряму, на якій лежить b, у точці (6; 2), тобто в кінці вектора 2b. Друга пряма, паралельна b, проходить через кінець вектора a. Тому c = a + 2b. Нагадати правило паралелограма можна за статтею про додавання векторів.

Якщо ж серед трьох векторів є два колінеарні, трійка залежна вже через них. У просторі та сама побудова працює на вимір вище. Через кінець четвертого вектора проводять три площини, кожна паралельна двом із трьох некомпланарних векторів a, b, c, і замість паралелограма виходить паралелепіпед. Тому будь-які чотири вектори в просторі залежні.

Коефіцієнти розкладу з системи рівнянь

З малюнка коефіцієнти видно лише тоді, коли вони цілі. Надійніше записати рівність c = xa + yb покоординатно. Перші координати дають рівняння x + 3y = 7, другі 2x + y = 4.

Розв'язок x = 1, y = 2 збігся з малюнком. Рівність a + 2b − c = 0 показує залежність трьох векторів з явними коефіцієнтами 1, 2 та −1. Якби a і b були колінеарні, система мала б або безліч розв'язків, або жодного. Від базису й вимагають неколінеарності, бо тоді розв'язок завжди єдиний.

Координати залежать від базису

Одиничні вектори i, j, k некомпланарні, тож утворюють базис простору. Розклад за ним дає звичні координати. Вектор d(2; −1; 5) складається з п'яти кроків уздовж Oz, двох уздовж Ox і одного назад уздовж Oy.

Координати належать не самому вектору, а вектору разом із базисом. Вектор c з попереднього прикладу має координати (7; 4) у базисі i, j і координати (1; 2) у базисі a, b. Стрілка та сама, змінилася лише сітка.

Додавати координати з різних базисів не можна. Якщо скласти (1; 2) та (7; 4), вийде (8; 6), а вектор 2c насправді має координати (14; 8) у базисі i, j і (2; 4) у базисі a, b.

Перевірка визначником і рангом

Два вектори на площині лінійно залежні тоді й тільки тоді, коли визначник другого порядку з їхніх координат дорівнює нулю. Для трьох векторів у просторі те саме робить визначник третього порядку.

Для a і b визначник дорівнює −5, тому розклад c = a + 2b виявився єдиним. Друга пара залежна, бо s = −1,5r. У просторі w = 2u + 3v, і визначник нульовий. Досить замінити в w координату 7 на 8, і визначник стане 1, а трійка утворить базис.

Коли векторів більше, ніж координат, квадратного визначника вже не скласти. Тоді координати записують рядками матриці й шукають її ранг, тобто найбільшу кількість незалежних векторів у наборі. Для чотирьох векторів у просторі матриця має три стовпці, тож ранг не перевищує 3, і це ще одне пояснення, чому такі вектори завжди залежні.

Що від цієї теми є в шкільній програмі

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Координати та вектори на площині». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, окремо для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Слів «лінійна залежність» і «базис» у цьому рядку немає. Єдиний слід теми в шкільній програмі це пункт «розклад вектора за двома неколінеарними векторами», і стоїть він у колонці «Тільки профільний рівень». Тобто задача на зразок c = a + 2b для школи належить до профільного рівня, а на першому курсі стоїть на початку розділу про векторну алгебру.

Що я раджу запам'ятати

Означення з λ я б не зубрив. Достатньо пам'ятати картинку. Два вектори залежні, коли лежать на одній прямій, три, коли лежать в одній площині, а чотири в просторі залежні завжди. Рівність з λ з'являється сама, щойно один вектор вдалося виразити через інші.

Знайдені коефіцієнти я раджу щоразу підставляти назад. Перевірка a + 2b = c займає пів хвилини й ловить арифметичну помилку раніше, ніж вона потрапить у відповідь.

Шість задач на розклад і залежність

Запис b = λa означає, що вектори колінеарні, а запис c = xa + yb, що вектор c розкладено за a і b.

У п'ятій задачі складіть визначник з координат трьох векторів і вирішіть, чи утворюють вони базис.

Відповіді

Якщо в третій вийшло лише m = 2, загубився другий корінь рівняння m² = 4, адже при m = −2 вектор b(−2; 4) дорівнює −2a. Відповідь (1; 2) у четвертій означає, що коефіцієнти розкладу за базисом a, b прийняли за координати в базисі i, j.

Більше задач на базис і розклад

Лінійні операції, лінійну залежність і базис, а далі скалярний, векторний і мішаний добутки по уроках розбирає збірник «Вектори» із серії «Вища математика». У кожному уроці є приклади з розв'язанням, а відповіді до вправ зібрано в кінці. Визначники й ранг є в збірнику «Матриці». Наступна тема курсу, векторний і мішаний добутки, дає ще одну перевірку компланарності.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Лінійна залежність, базис і розклад ідуть тут у тому самому порядку, що й у силабусі КПІ, а всі розклади й відповіді перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 12 жовтня 2026 року. Матеріал відповідає першому курсу технічних спеціальностей, розділу «Векторна алгебра та аналітична геометрія».