Додавання і віднімання векторів. Різниця векторів з однієї точки йде від кінця другого до кінця першого

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Два вектори додають за правилом трикутника або паралелограма. За правилом трикутника другий вектор прикладають до кінця першого, і сума йде від початку першого до кінця другого. За правилом паралелограма обидва вектори відкладають від однієї точки, а сума є діагоналлю паралелограма, побудованого на них. У координатах відповідні координати додають або віднімають.

Різниця a − b дорівнює a + (−b). Якщо вектори a = OA і b = OB відкладено від однієї точки, то a − b = BA, тобто різниця йде від кінця другого вектора до кінця першого. При множенні на число λ кожна координата множиться на λ, а довжина на модуль λ, і якщо λ < 0, напрям змінюється на протилежний.

Відоме правило з довідки НМТ, за яким від координат кінця вектора віднімають координати початку, це та сама різниця векторів, тільки записана в координатах.

Обидва правила дають той самий вектор, бо протилежна сторона паралелограма дорівнює b. Правило трикутника зручніше, коли доданків більше двох. Вектори прикладають ланцюжком, і сума йде від початку першого до кінця останнього, наприклад AB + BC + CD = AD. Якщо ламана замкнулася, сума дорівнює нульовому вектору, тож для будь-якого трикутника сума AB + BC + CA нульова.

Від кінця другого вектора до кінця першого

Візьмемо початок координат O та точки A(1; 3) і B(4; 1). За правилом трикутника OA + AB = OB, тому AB = OB − OA. Перший вектор тут OB, другий OA, і їхня різниця йде від кінця другого, точки A, до кінця першого, точки B.

Обидва вектори починаються в O, тому їхні координати збігаються з координатами точок A і B. Звідси AB = (4 − 1; 1 − 3) = (3; −2), а в загальному вигляді від координат кінця віднімають координати початку.

Так само координати вектора записано й у довідці НМТ-2026, у розділі «Координати та вектори».

Обидві діагоналі паралелограма з двох векторів

У паралелограмі ABCD діагональ AC дорівнює AB + AD, це правило паралелограма. Друга діагональ BD дорівнює AD − AB, бо ця різниця йде від кінця вектора AB, точки B, до кінця вектора AD, точки D.

Ті самі два вектори дають обидві діагоналі, сума одну, а різниця другу. Тому в задачах на паралелограм я раджу одразу виражати все через дві сторони, що виходять з однієї вершини. Властивості самих діагоналей зібрано в статті про паралелограм і ромб.

Якщо вектори перпендикулярні, паралелограм стає прямокутником, а діагоналі прямокутника рівні. Для векторів завдовжки 4 і 3 під прямим кутом |a + b| = |a − b| = 5. Тому сили 3 Н і 4 Н, прикладені до тіла під прямим кутом, дають рівнодійну 5 Н, а не 7 Н.

Рівність |a + b| = |a| + |b| буває лише для співнапрямлених векторів. В усіх інших випадках сума довжин більша, і це нерівність трикутника.

Додавання, віднімання й множення на число в координатах

Для a(1; 2) і b(3; −1) сума a + b = (4; 1), різниця a − b = (−2; 3), 3a = (3; 6), а 2a − b = (−1; 5).

На рисунку різницю a − b відкладено від кінця b до кінця a, і це друга діагональ того самого паралелограма. Її координати (−2; 3) не залежать від того, від якої точки її відкладено. Довжина a дорівнює √5, а довжина 3a дорівнює 3√5, бо множення на 3 розтягує вектор утричі.

Вектор 3a має той самий напрям, що й a, тобто колінеарний йому, як і будь-який вектор λa. Про це окремо розповідає стаття про колінеарні й компланарні вектори.

У програмі ЗНО додавання й віднімання векторів і множення вектора на число стоять у колонці рівня стандарту, і для площини, і для простору. У просторі все робиться так само, лише з третьою координатою, як показано в статті про координати у просторі.

Завдання 8 з демоваріанта НМТ-2026

Завдання 8 з демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Від координат кінця L віднімаємо координати початку K, тож KL = (−1 − 3; 2 − 2; 0 − 4) = (−4; 0; −4), відповідь Д, як і в ключі.

Три з чотирьох неправильних варіантів можна отримати конкретною помилкою. Варіант А (4; 0; 4) виходить, якщо віднімати в порядку запису точок в умові, тобто від K відняти L. Додавання координат замість віднімання дає варіант Б (2; 4; 4), а Г (1; 2; 2) це середина відрізка KL, півсума координат його кінців.

Відповідь тут видно й без обчислень. Абсциса L менша за абсцису K, тому перша координата вектора KL від'ємна, а серед п'яти варіантів таку має лише Д. Таку перевірку знаків я б робив у кожному завданні на координати вектора, вона забирає кілька секунд.

Центр кола й протилежні вектори в ЗНО-2020

Завдання 32 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Спершу знаходимо центр кола. Після виділення повних квадратів рівняння набуває вигляду (x − 2)² + (y + 6)² = 49, тож O(2; −6), а радіус дорівнює 7.

Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому вектор OC протилежний вектору OA, його координати (1; −2). Звідси C = (2 + 1; −6 − 2) = (3; −8), а добуток координат 3 · (−8) = −24, як і в ключі.

Хто відкладе від O сам вектор OA, а не протилежний, отримає точку (1; −4). Це вершина A, і добуток −4 стосується не тієї вершини. Рівняння кола та інші формули координат на площині зібрано в статті про вектори й координати на НМТ.

Множення на −2 в ЗНО-2021

Завдання 23 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Кожну координату a множимо на −2 й отримуємо b(−4; 18; −6). Сума координат −4 + 18 − 6 = 8, і саме 8 стоїть у ключі.

Якщо загубити мінус і знайти 2a = (4; −18; 6), сума вийде −8. Якщо ж помножити −2 на −9 і отримати −18, вийде b(−4; −18; −6) і сума −28.

Можна й коротше. Сума координат вектора −2a дорівнює сумі координат a, помноженій на −2, тобто −2 · (2 − 9 + 3) = −2 · (−4) = 8. Другу частину завдання, де треба знайти скалярний добуток a · b, розібрано в статті про скалярний добуток векторів.

Вправи на суму, різницю й довжину

У четвертій вправі ABCD паралелограм, а в шостій вектори a і b перпендикулярні.

Відповіді

Якщо в четвертій вийшло (3; −2), вектор AD пораховано навпаки, від координат A відняли координати D. Відповідь −10 у п'ятій неможлива, бо довжина не буває від'ємною, |−2a| = 2|a| = 10. А 7 у шостій означає, що від 12 відняли 5, хоча вектори перпендикулярні.

Більше вправ на вектори й координати

Завдання у форматі НМТ є в безкоштовних тестах «Вектори на площині та в просторі» і «Координати на площині та в просторі». Правила дій з векторами можна освіжити на флешкартках, а письмові вправи зібрано в PDF-збірнику «Вектори на площині та в просторі».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято з демонстраційного варіанта НМТ-2026 і сертифікаційних робіт ЗНО-2020 та ЗНО-2021, тобто з документів УЦОЯО, відповіді звірено з ключами, а приклади й вправи перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 12 жовтня 2026 року. Формулу координат вектора взято з довідки демонстраційного варіанта НМТ-2026. Яким буде склад довідки у 2027 році, поки невідомо.