Колінеарні й компланарні вектори. Будь-які два вектори компланарні, а три вже не завжди

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Колінеарні вектори лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо вектор a ненульовий, вектор b колінеарний йому тоді й тільки тоді, коли b = λa для деякого числа λ, інакше кажучи, коли координати b пропорційні координатам a. Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому.

Компланарні вектори паралельні одній площині, тобто, відкладені від однієї точки, лежать в одній площині. Три вектори компланарні тоді й тільки тоді, коли дорівнює нулю визначник, складений з їхніх координат.

Будь-які два вектори компланарні. Відкладіть їх від однієї точки, і через дві стрілки завжди пройде площина. З трьома векторами так уже не виходить, і найнаочніший приклад дає куб.

Три ребра куба зі спільною вершиною O задають вектори i(1; 0; 0), j(0; 1; 0) і k(0; 0; 1). Кожна пара з них лежить у своїй грані, а спільної площини для всіх трьох немає. Вектори i та k лежать у передній грані разом з її діагоналлю, вектором i + k, а вектор j з цієї площини виходить, тому трійка i, j, k не компланарна.

Для пари i та d = i + j + k спільна площина теж є, хоч це вже не грань, а діагональний переріз куба. Чому дві стрілки зі спільним початком завжди лежать в одній площині, пояснюють аксіоми стереометрії. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площина, і до того ж лише одна.

Співнапрямлені, протилежні й рівні вектори

Ненульові колінеарні вектори бувають двох видів. Якщо b = λa і λ > 0, вектори співнапрямлені, тобто дивляться в один бік. Якщо λ < 0, вони протилежно напрямлені. Довжина при цьому множиться на модуль λ, тому вектор 2a удвічі довший за a.

Рівні вектори мають однаковий напрям і однакову довжину, а від якої точки їх відкладено, неважливо. Тому дві сині стрілки на різних прямих позначено однією буквою a. Протилежні вектори мають однакову довжину й протилежні напрями, як a та c = −a.

Нульовий вектор напряму не має. Його домовилися вважати колінеарним будь-якому вектору, бо він дорівнює 0 · a.

Нуль серед координат не заважає

Колінеарність за координатами перевіряють через число λ, на яке треба помножити координати a, щоб отримати координати b. Для a(2; 0; −4) і b(−1; 0; 2) таке число є, b = −0,5a. Проте пропорцію з трьох дробів тут не запишеш, бо в середньому дробі нуль ділиться на нуль.

Перша координата дає λ = −0,5, бо −1 = −0,5 · 2. Друга й третя лише перевіряють знайдене число. Нуль дорівнює −0,5 · 0, а 2 = −0,5 · (−4), тож вектори колінеарні й протилежно напрямлені.

На площині є спосіб зовсім без ділення. Вектори a(a₁; a₂) і b(b₁; b₂) колінеарні тоді й тільки тоді, коли a₁b₂ − a₂b₁ = 0, тобто коли рівні перехресні добутки координат. Нулі цій рівності не шкодять. У просторі таких рівностей три, по одній на кожну пару координат, і в нашому прикладі всі три виконуються.

Я раджу замість пропорції шукати λ. Знайдіть його з координати без нуля, а решту координат перевірте множенням. Пропорція з дробами ламається на першому ж нулі, а знак λ одразу показує, співнапрямлені вектори чи протилежні.

Колінеарні вектори в завданні 30 ЗНО-2018

Завдання 30 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Точка B лежить на прямій y = 3, тож B(x; 3), а вектор AB має координати (x + 4; 2). Він колінеарний вектору a(3; −5), тому (x + 4) · (−5) − 2 · 3 = 0. Звідси x + 4 = −1,2, і абсциса B дорівнює −5,2, як і в ключі.

Замість AB можна взяти вектор BA(−4 − x; −2), і відповідь не зміниться. Колінеарність від напряму не залежить, а координати вектора залежать. Тут AB = −0,4a, тобто AB напрямлений протилежно до a, а BA = 0,4a співнапрямлений з ним.

Слабке місце тут у самій рівності. Хто перемножить не ту пару координат, (x + 4) · 3 = 2 · (−5), отримає x ≈ −7,33. Перевірка займає секунду. Для x = −5,2 вектор AB(−1,2; 2) дорівнює −0,4a, а для −7,33 перша координата AB близько −3,33, і спільного λ для двох координат уже немає.

Роком раніше, у ЗНО-2017, завдання 30 мало ту саму будову. Вектори AB і a(4; 3) там взаємно перпендикулярні, A(−2; 0), а точка B лежить на прямій y = 2x. Пропорція тут не допоможе, потрібен скалярний добуток, який для перпендикулярних векторів дорівнює нулю.

З рівності 4(x + 2) + 3 · 2x = 0 маємо 10x = −8, тобто x = −0,8. Зовні задачі однакові, і лише одне слово в умові визначає метод. Як працювати з перпендикулярними векторами, пояснює стаття про скалярний добуток векторів.

Що з цього вимагає програма ЗНО

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Координати та вектори на площині». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, і в кожній частині окремі колонки для рівня стандарту й тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Колінеарні, протилежні й рівні вектори належать до рівня стандарту. А «умови колінеарності та перпендикулярності векторів, що задані координатами» винесено в колонку «Тільки профільний рівень». Означення має знати кожен, а перевірку колінеарності за координатами програма прямо вимагає лише на профільному рівні.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 умови колінеарності немає. Там є координати середини відрізка, координати й довжина вектора та скалярний добуток, тож пропорційність координат доведеться пам'ятати. Компланарності немає ні в довідці, ні в програмі ЗНО. Це вже тема першого курсу.

Три вектори в одній площині й визначник

Для трьох векторів у просторі складають визначник третього порядку, записавши координати кожного вектора в окремий рядок. Якщо він дорівнює нулю, вектори компланарні.

Для a(1; 2; 3), b(2; 1; 0) і c(3; 3; 3) визначник дорівнює нулю, і це не випадково, бо c = a + b. Сума є діагоналлю паралелограма, побудованого на a і b, тож лежить у їхній площині. Правило паралелограма розібрано в статті про додавання векторів. Для i, j і d(1; 1; 1) визначник дорівнює 1, і ці вектори не компланарні.

Як рахувати такий визначник, показано в статті про визначник матриці. Той самий визначник називають мішаним добутком, а його модуль дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах. Нульовий об'єм означає сплющену фігуру, тобто компланарні вектори. Докладніше про це в статті про векторний і мішаний добутки.

Мовою лінійної алгебри два колінеарні вектори або три компланарні є лінійно залежними. Для c = a + b це видно одразу, бо a + b − c дорівнює нульовому вектору.

Шість вправ на колінеарність і компланарність

У третій вправі відповідей дві. У шостій вектор c має виражатися через a і b, тобто три вектори мають бути компланарними.

Відповіді

Хто в третій записав лише 6, загубив від'ємний корінь рівняння p² = 36. Відповідь (−2; 4; −4) у п'ятій має правильну довжину, але протилежний напрям, а (6; −12; 12) виходить, якщо помножити a на 6 і не поділити на його довжину 3.

Тест, флешкартки й збірник «Вектори»

Задачі на колінеарність у форматі НМТ є в безкоштовному тесті «Вектори на площині та в просторі». Означення зручно повторювати за флешкартками, а письмові задачі зібрано в PDF-збірнику з векторів.

У збірнику «Вектори» нашої серії «Вища математика» компланарність і лінійну залежність розібрано докладно. Там є уроки з повністю розв'язаними прикладами, вправи на уроці й додому з відповідями в кінці, контрольна робота й тест.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання ЗНО-2017 і ЗНО-2018, фрагмент програми й опис довідки взято з документів УЦОЯО та МОН на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами, а всі приклади й вправи перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2017 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 12 жовтня 2026 року. Вміст довідки описано за демонстраційним варіантом НМТ-2026, а довідкові матеріали НМТ-2027 на цю дату ще не визначено.