Рівняння площини. Відстань від точки до площини шукають так само, як до прямої на площині

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Загальне рівняння площини має вигляд Ax + By + Cz + D = 0. Вектор n(A; B; C), складений з коефіцієнтів при x, y і z, перпендикулярний до площини. Це її нормальний вектор, або нормаль. Відстань від точки M(x₀; y₀; z₀) до площини дорівнює модулю числа Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D, поділеному на довжину нормалі, тобто на корінь з A² + B² + C². Для прямої Ax + By + C = 0 на площині формула така сама, тільки без третьої координати.

Площину через точку M₀(x₀; y₀; z₀) з нормаллю n задає рівняння A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Якщо відомі три точки площини, нормаль знаходять як векторний добуток двох векторів, що в ній лежать. Рівняння у відрізках має вигляд x поділити на a плюс y поділити на b плюс z поділити на c дорівнює 1, де a, b і c це відрізки, які площина відтинає на осях.

Площина через три вершини куба, сусідні з вершиною A, перетинає діагональ, проведену з A, рівно на третині її довжини. Перевіряється це тією самою формулою відстані.

Звідки в рівнянні площини нормаль

Найпростіший випадок дає площина z = 2, паралельна площині Oxy. Її рівняння можна записати як 0 · x + 0 · y + 1 · z − 2 = 0, і коефіцієнти дають вектор (0; 0; 1). Він напрямлений уздовж осі Oz і тому перпендикулярний до площини. Для будь-якої іншої площини міркування таке саме, як для прямої на площині.

Якщо точки M₀ і M лежать у площині, то вектор M₀M лежить у ній теж і тому перпендикулярний до n. Рівність нулю їхнього скалярного добутку, записана в координатах, і є рівнянням через точку з нормаллю. Після розкриття дужок усі сталі збираються в одне число D, і виходить загальне рівняння.

Площина, що відтинає на осях 1, 2 і 3

Візьмемо точки A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) і C(0; 0; 3). Вони лежать на осях, тому рівняння одразу пишеться у відрізках, x поділити на 1 плюс y поділити на 2 плюс z поділити на 3 дорівнює 1. Після множення на 6 отримуємо загальне рівняння 6x + 3y + 2z − 6 = 0 з нормаллю n(6; 3; 2).

У таблиці ця сама площина записана п'ятьма способами. Векторний добуток векторів AB(−1; 2; 0) і AC(−1; 0; 3) дає ту саму нормаль (6; 3; 2). У четвертому рядку нормаль окремо не шукають. Для змінної точки M(x; y; z) площини вектори AM, AB і AC лежать в одній площині, тому визначник з їхніх координат, тобто їхній мішаний добуток, дорівнює нулю. Розкриття цього визначника за першим рядком дає 6(x − 1) + 3y + 2z = 0.

Окремі випадки видно з рівняння одразу. Якщо D = 0, площина проходить через початок координат. Коли в рівнянні немає однієї змінної, площина паралельна відповідній осі. Наприклад, x + y = 1 паралельна осі Oz, а x + y = 0 цю вісь містить. Площина z = 3, де немає двох змінних, паралельна координатній площині Oxy.

Та сама формула відстані, що й для прямої

Ліворуч відстань від точки до прямої на площині, праворуч від точки до площини в просторі. Схема однакова. У ліву частину рівняння підставляють координати точки, беруть модуль і ділять на довжину нормалі.

Причина теж спільна. Позначимо через M₁ будь-яку точку площини. Відстань від M до площини дорівнює довжині проєкції вектора M₁M на нормаль, тобто модулю скалярного добутку n на M₁M, поділеному на довжину n. У координатах цей добуток дорівнює Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D, бо для точки площини Ax₁ + By₁ + Cz₁ = −D.

Для площини 6x + 3y + 2z − 6 = 0 і початку координат підстановка дає −6. Довжина нормалі дорівнює 7, бо 36 + 9 + 4 = 49. Тож відстань від O до площини дорівнює 6, поділеному на 7, тобто приблизно 0,857.

Перевірка шкільною формулою об'єму

Точки O, A, B і C утворюють трикутну піраміду, у якої три ребра з вершини O попарно перпендикулярні. Знайдена відстань є висотою цієї піраміди, опущеною з O на грань ABC. Цю висоту можна порахувати без рівняння площини.

За основу зручно взяти прямокутний трикутник OAB з катетами 1 і 2. Його площа дорівнює 1, висотою до нього є ребро OC = 3, тому об'єм піраміди дорівнює 1. Площа грані ABC дорівнює половині довжини векторного добутку AB × AC = (6; 3; 2), тобто 3,5. Висота з вершини O дорівнює потроєному об'єму, поділеному на площу цієї грані, і виходить той самий дріб шість сьомих.

Площу грані ABC можна знайти й без векторного добутку. Квадрат її площі дорівнює сумі квадратів площ трьох прямокутних граней, 1 + 9 + 2,25 = 12,25, а √12,25 = 3,5. Це просторовий аналог теореми Піфагора для піраміди з трьома прямими кутами при вершині.

Діагональ куба й три рівні відрізки

Візьмемо куб з ребром 1. Помістимо вершину A в початок координат і спрямуємо ребра AD, AB і AA₁ уздовж осей x, y і z. Тоді D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), і площина A₁BD має рівняння x + y + z = 1, бо відтинає на кожній осі одиницю.

Відстань від A до цієї площини дорівнює 1, поділеному на √3, тобто √3, поділеному на 3, приблизно 0,577. Діагональ AC₁ має напрям (1; 1; 1), той самий, що й нормаль, і тому перпендикулярна до площини. Її довжина √3, і площина A₁BD відтинає від неї рівно третину. Протилежна площина CB₁D₁ має рівняння x + y + z = 2 і відтинає ще третину з боку C₁. Формули діагоналей куба є в статті про прямокутний паралелепіпед і куб.

Шкільний розв'язок шукає ту саму відстань через об'єм піраміди AA₁BD, як вище для OABC. Її об'єм дорівнює одній шостій, а грань A₁BD це рівносторонній трикутник зі стороною √2 і площею √3, поділеною на 2. Висота виходить та сама, 1, поділене на √3.

Паралельні площини й кут між ними

Площини 2x − y + 2z + 4 = 0 і 2x − y + 2z − 5 = 0 мають спільну нормаль (2; −1; 2), тому паралельні. Відстань між ними дорівнює модулю різниці вільних членів, поділеному на довжину нормалі. Різниця дорівнює 9, довжина нормалі 3, тож відстань 3. Коефіцієнти при x, y і z перед цим мають збігатися, інакше одне з рівнянь спершу множать на потрібне число.

Кут між площинами дорівнює куту між їхніми нормалями або доповнює його до 180°, тому косинус беруть за модулем. Для площин z = 0 і x + z = 0 нормалі (0; 0; 1) і (1; 0; 1) дають косинус 1, поділене на √2, тобто кут 45°. Площини x + y + z = 1 і x − y = 0 перпендикулярні, бо скалярний добуток нормалей 1 − 1 + 0 = 0. Кут між прямою і площиною шукають уже через синус, і причину розібрано в статті про рівняння прямої в просторі.

Чого немає в шкільній програмі

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Координати та вектори у просторі». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності; окремі колонки для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Із рівнянь фігур у просторі в цьому рядку є тільки рівняння сфери, і то в колонці профільного рівня. Рівняння площини немає ні серед стандартного, ні серед профільного змісту. Відстані до площини й кути школа знаходить побудовами, з теоремою про три перпендикуляри і з означенням кута між прямою і площиною. На першому курсі площина йде в силабусі КПІ після прямої й кривих другого порядку на площині, разом із прямою в просторі.

Коли я беру координати замість побудови

Я беру координати, коли фігура сама підказує, де поставити осі, як куб чи прямокутний паралелепіпед, і коли незрозуміло, куди падає перпендикуляр. Тоді рівняння площини пишеться за кілька рядків, а відстань рахується однією підстановкою. Побудову я б залишив для задач, де висоту видно одразу, як у правильній піраміді. Там вона коротша.

Нормаль, знайдену через векторний добуток, я раджу перевіряти завжди. Її скалярний добуток з кожним вектором у площині має дорівнювати нулю. Для площини ABC вище це −6 + 6 + 0 = 0 і −6 + 0 + 6 = 0.

Вправи з площинами в просторі

У перших трьох вправах складіть загальне рівняння площини з цілими коефіцієнтами.

У третій перевірте відповідь підстановкою всіх трьох точок.

Відповіді

У п'ятій вісім третіх виходить тоді, коли від −1 віднімають 7, не поділивши спершу друге рівняння на 2. Кут 120° у шостій з'являється, якщо забути модуль, адже скалярний добуток нормалей тут від'ємний, −1.

Збірник і тест для повторення

Площину й пряму в просторі відпрацьовує наш збірник «Аналітична геометрія» із серії «Вища математика». Вправ там вистачить і на заняття, і на домашню роботу, а для самоперевірки є контрольна робота й тест. Шкільну основу, координати й вектори в просторі, можна повторити в безкоштовному тесті «Координати на площині та в просторі» і в PDF-збірнику з цієї теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Порядок тем у статті збігається з розділом аналітичної геометрії в силабусі КПІ, а всі відстані, кути й відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 12 жовтня 2026 року. Рівняння площини належить до аналітичної геометрії в просторі, яку на технічних спеціальностях вивчають на першому курсі.