Теорема про три перпендикуляри: відстань до прямої в просторі шукають через проекцію

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Теорема про три перпендикуляри стверджує: пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції, перпендикулярна і до самої похилої. Правильне й обернене твердження: якщо пряма в площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції. Практичний сенс у тому, що перпендикуляр з точки до прямої в просторі можна знайти через рисунок на площині.

Ось як це працює. Щоб знайти відстань від точки S поза площиною до прямої в цій площині, не треба вгадувати, куди падає перпендикуляр. Досить опустити перпендикуляр з S на площину, а з його основи провести перпендикуляр до прямої на звичайному плоскому рисунку. Точка, до якої він прийде, і буде основою шуканого перпендикуляра з S.

Три перпендикуляри на одному рисунку

Перший перпендикуляр SO опущено на площину. Другий, OB, проведено в площині до прямої c. Третій, SB, з'являється сам: за теоремою він теж перпендикулярний до c. Тому довжина SB і є відстанню від точки S до прямої c, а знайти її можна за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника SOB.

Точка над вершиною квадрата

Нехай SA перпендикулярне до площини квадрата ABCD зі стороною 4, а SA = 4. Знайдемо відстані від точки S до прямих BC і BD.

Для прямої BC проекцією похилої SB є сторона AB, а вона перпендикулярна до BC. Отже, SB перпендикулярна до BC, і відстань дорівнює SB = 4√2. Для діагоналі BD перпендикуляр з точки A падає в центр квадрата O, бо діагоналі квадрата перпендикулярні. Тому SO перпендикулярна до BD, і відстань дорівнює 2√6. Зверніть увагу, що основи перпендикулярів, B і O, ми знайшли, взагалі не виходячи з площини квадрата.

Пряма і площина в кубі: ЗНО-2019

Завдання 24 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Ребро CB перпендикулярне до двох прямих площини AA₁B₁B, а саме до AB і BB₁, тому воно перпендикулярне до всієї площини, 1Б. Пряма CD₁ лежить у протилежній грані, яка паралельна AA₁B₁B, тож вона паралельна площині, 2А. Проекцією прямої AC на площину AA₁B₁B є ребро AB, бо CB перпендикулярне до цієї площини. Кут CAB дорівнює 45°, отже, 3Д. Нарешті A₁B лежить у самій площині, 4В.

Відстані в паралелепіпеді: ЗНО-2021

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Відстань від C до площини AA₁B₁ дорівнює ребру CB, бо воно перпендикулярне до цієї площини, а CB = AD = 4, звідси 1В. Ребро CC₁ перпендикулярне до основи, тому AC перпендикулярна до CC₁, і відстань від A до прямої CC₁ дорівнює діагоналі основи. Вона дорівнює 5 за теоремою Піфагора, 2Г. Відстань між основами дорівнює висоті AA₁ = 2, отже, 3А.

Куб з ребром 2: додаткова сесія ЗНО-2021

Завдання 19 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Діагональ куба з ребром 2 дорівнює 2√3, тож 1В. У другому проекцією точки A на верхню грань є сама точка A₁, яка лежить на прямій A₁C₁. Тому перпендикуляр з A на цю пряму падає в A₁, і відстань дорівнює ребру AA₁ = 2, 2А. У третьому відрізок AO від вершини до центра основи перпендикулярний і до BD, і до BB₁, тобто до всієї площини BB₁D₁. Його довжина дорівнює половині діагоналі основи, √2, отже, 3Д.

Головне тут не теорема, а рисунок

Саму теорему в тестах майже ніколи не питають прямо. Вона працює як інструмент усередині задач на відстані й кути. Тому я раджу виробити одну звичку: щойно в задачі з'являється відстань від точки до прямої в просторі, спершу знайдіть проекцію цієї точки на площину. Далі задача майже завжди стає планіметричною, а її розв'язання займає два рядки.

За програмою ЗНО з математики теорема про три перпендикуляри потрібна на обох рівнях, стандарту і профільному. Тож пропускати її, навіть якщо стереометрія здається складною, я б не радив.

6 задач на відстань

1. Відрізок SA перпендикулярний до площини квадрата ABCD зі стороною 6, SA = 8. Знайдіть відстань від точки S до прямої CD.
2. У трикутнику ABC кут C прямий, AC = 5, BC = 12. Відрізок AS = 12 перпендикулярний до площини трикутника. Знайдіть відстань від S до прямої BC.
3. Сторона правильного трикутника дорівнює 6√3. З його центра O проведено перпендикуляр OS = 4 до площини трикутника. Знайдіть відстань від S до сторін трикутника.
4. У прямокутнику ABCD сторони AB = 3 і AD = 4. Відрізок SA = 3,2 перпендикулярний до площини прямокутника. Знайдіть відстань від S до діагоналі BD.
5. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4, а висота √5. Знайдіть відстань від вершини піраміди до сторони основи.
6. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 2. Знайдіть відстань від точки A₁ до прямої BD.

Відповіді

У четвертій спершу знайдіть висоту прямокутного трикутника ABD, проведену до гіпотенузи BD, вона дорівнює 2,4. У п'ятій відповідь є апофемою піраміди, і це не випадково: апофема перпендикулярна до сторони основи саме за теоремою про три перпендикуляри.

Взаємне розміщення прямих розібрано в статті про мимобіжні прямі, а кути між прямою і площиною та між площинами в статті про кут між прямою і площиною. Апофема і висота піраміди зібрані в статті про формули піраміди, а огляд усієї стереометрії на тесті є в статті про стереометрію на НМТ.

Більше практики

Безкоштовний тест «Аксіоми стереометрії. Прямі та площини» і PDF-збірник «Стереометрія НМТ: 90 задач з відкритою відповіддю».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а відповіді до вправ перевірено координатним методом.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Теорема про три перпендикуляри в чинній програмі потрібна на обох рівнях; програма НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.