Координати і вектори в просторі: вектор AB це B мінус A, а не навпаки

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

У прямокутній системі координат у просторі кожна точка має три координати: абсцису x, ординату y і аплікату z. Майже всі формули з площини переносяться сюди дослівно, лише з третім доданком. Це відстань між точками, середина відрізка, координати й довжина вектора, скалярний добуток. Координати вектора AB дорівнюють координатам кінця B мінус координати початку A, і саме на порядку віднімання найчастіше губиться бал.

Ще одна корисна річ: у точки на координатній осі дві координати нульові, а в точки на координатній площині одна. За цією ознакою деякі тестові завдання розв'язуються взагалі без обчислень.

Де стоять нулі

На рисунку точка M та її проекції. Проекція на площину Oxy втрачає аплікату, тому має вигляд (x; y; 0). Проекції на осі зберігають лише одну координату. Ось як це перевіряли в ЗНО-2016.

Завдання 5 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Точка лежить на осі z, тому її абсциса й ордината дорівнюють нулю. Залишаються варіанти Г і Д, а оскільки M розташована вище від початку координат, її апліката додатна. Відповідь Д, точка (0; 0; 1).

Що дає довідник

Розділ «Координати та вектори» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довіднику є координати середини відрізка, координати й довжина вектора та дві формули скалярного добутку, через координати і через косинус кута. Формулу відстані між точками окремо не наведено, але це та сама довжина вектора, побудованого на цих точках. А от рівняння сфери в довіднику немає зовсім.

Сфера: рівняння, яке доведеться пам'ятати

Сфера складається з точок, віддалених від центра на R. Якщо записати це через формулу відстані й піднести до квадрата, вийде рівняння сфери. Для центра в початку координат воно найпростіше. У ЗНО-2017 знати рівняння навіть не знадобилося.

Завдання 5 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Точка A лежить на сфері, тож радіус дорівнює її відстані до початку координат, тобто 5. Шукаємо точку на тій самій відстані. Це N(0; 0; 5), відповідь Г. Точка M(0; 0; 10) лежить на тій самій осі, але вдвічі далі, а K і P дають корінь з 50 і корінь з 75.

Вектор, який легко перевернути: ЗНО-2021

Завдання 23 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут дано вектор AB і його кінець B, а потрібен початок A. Оскільки координати вектора дорівнюють різниці координат кінця і початку, координати A отримуємо відніманням вектора від B.

Ордината точки A дорівнює −10. Вектор OA має ті самі координати, що й точка A, бо O початок координат, і скалярний добуток дорівнює −111. Якщо переплутати порядок і додати вектор до B, вийде точка (4; 6; 1), і обидві відповіді будуть неправильними.

Що з цього профільний рівень

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, тема «Координати та вектори у просторі». Ліворуч зміст для рівня стандарту і профільного рівня, праворуч лише для профільного. Джерело: testportal.gov.ua.

Рівняння сфери стоїть у правій колонці, тобто потрібне лише на профільному рівні. Там само формула кута між векторами, заданими координатами, і умови колінеарності та перпендикулярності векторів у координатах. Парадокс у тому, що обидві формули скалярного добутку є в довіднику НМТ, а з них кут між векторами отримується в один рядок. Тому я б не ділив цю тему на рівні й вивчав її повністю.

Як не переплутати порядок

Я пояснюю учням вектор як маршрут: щоб дізнатися, на скільки ми зсунулися, від місця прибуття віднімаємо місце відправлення. Звідси кінець мінус початок, і ніяк інакше. Друга порада стосується відповідей: якщо в тесті є варіант, що відрізняється від вашого лише знаками всіх координат, ви майже напевно переплутали початок і кінець.

6 вправ

1. Знайдіть відстань між точками A(1; −2; 3) і B(3; 0; 2).
2. Знайдіть координати середини відрізка з кінцями A(2; −4; 7) і B(0; 6; −1).
3. Знайдіть координати точки, симетричної точці (2; −3; 5) відносно площини Oxy.
4. Знайдіть скалярний добуток векторів a(1; 2; −2) і b(3; −1; 4).
5. Знайдіть довжину вектора a(2; −6; 3).
6. Запишіть рівняння сфери з центром у точці (1; −2; 0) і радіусом 3.

Відповіді

У третій вправі симетрія відносно площини Oxy змінює знак лише аплікати, бо саме вона показує, з якого боку площини лежить точка. Відносно початку координат змінилися б знаки всіх трьох координат.

Вектори й координати на площині, зокрема рівняння прямої та кола, розібрано в статті про вектори й координати на НМТ. Повний вміст довідника описано в статті про довідкові матеріали НМТ. Кути між прямими й площинами без координат розглянуто в статті про кут між прямою і площиною, а загальний план підготовки є в огляді стереометрії на НМТ.

Тренування

Безкоштовні тести «Координати на площині та в просторі» і «Вектори на площині та в просторі», колоди флешкарток з координат і векторів, а також PDF-збірники з координат і векторів.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання, довідник і програму взято з офіційних документів на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а вправи перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації: 5 жовтня 2026 року. Координати й вектори у просторі входять до чинної програми, рівняння сфери лише на профільному рівні; чи зміниться це для НМТ-2027, на цю дату не визначено.