Логарифмічні рівняння: одна властивість додає зайві корені, а інша губить правильні

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Майже кожне логарифмічне рівняння зводиться до одного з чотирьох типів. Найпростіші розв'язують за означенням логарифма, рівняння з однаковими основами зводять до рівності виразів під логарифмами, квадратні відносно логарифма розв'язують заміною, а суму логарифмів збирають в один логарифм. І в кожному випадку наприкінці перевіряють, чи існують логарифми для знайдених коренів.

Неочевидне в цій темі таке. Властивість логарифма добутку може додати зайвий корінь, а винесення показника степеня перед логарифм може загубити правильний. Зайвий корінь відсіє перевірка, а загубленого перевірка вже не поверне.

Найпростіші рівняння в чотирьох завданнях ЗНО

Логарифм числа за основою a дорівнює b, якщо a в степені b дає це число. Ця фраза розв'язує всі чотири завдання нижче. А неправильні варіанти в них побудовано на одній і тій самій плутанині, що саме в який степінь підносити.

Завдання 5 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Вираз під логарифмом дорівнює 4 в третьому степені, тобто 64, отже, x = 65, і правильна відповідь Г. Число 82 виходить, якщо піднести 3 до четвертого степеня, тобто переплутати основу з показником. Варіант 63 з'являється через помилку зі знаком, а 13 через множення 4 на 3 замість піднесення до степеня.

Завдання 7 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Спершу позбуваємося мінуса, і логарифм x за основою 2 дорівнює −3. Тому x дорівнює 2 в степені −3, тобто одній восьмій, відповідь Г. Варіант −8 виходить, якщо перенести мінус на результат, а одна дев'ята, якщо знову переплутати основу з показником.

Завдання 16 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут x дорівнює 64 в степені одна друга, тобто квадратному кореню з 64. Це 8, і правильна відповідь Г. Якщо замість кореня поділити 64 на 2, вийде 32 і варіант Д, а якщо піднести одну другу до шістдесят четвертого степеня, вийде крихітне додатне число з варіанта Б.

Завдання 17 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Основа одна третя, показник −2, тому x + 1 дорівнює 9, а x = 8. Відповідь Д. Від'ємний показник перевертає дріб, і цей крок легко пропустити. Якщо взяти одну дев'яту замість дев'яти, x потрапить у проміжок з варіанта Б.

Однакові основи і умова, без якої відповідь неповна

Якщо зліва і справа стоять логарифми з однаковою основою, їх можна прибрати і прирівняти вирази. Але нове рівняння вже не пам'ятає, що вирази мали бути додатними, тому корені доведеться перевірити.

Перевіряти обидва вирази не обов'язково. У коренях вони рівні між собою, тож досить переконатися, що додатний простіший з них. Для x = 1 вираз 2x − 5 від'ємний, і цей корінь відкидаємо. Відповідь x = 5.

Заміна, коли логарифм стоїть у квадраті

Після заміни виходить звичайне квадратне рівняння. Обидва значення t дають додатні x, тож обидва корені підходять. Заміна працює так само, як у статті про показникові рівняння й нерівності, тільки там замінюють степінь, а тут логарифм.

Одна властивість додає корені, інша їх губить

Ось головне, що варто винести з цієї статті.

У першому рівнянні суму логарифмів перетворили на логарифм добутку. Добуток x(x − 1) додатний і тоді, коли обидва множники від'ємні, тож після перетворення область визначення розширилася, і з'явився зайвий корінь −2. Його відсікає перевірка. Так само зайві корені з'являються після піднесення до квадрата в статті про ірраціональні рівняння.

У другому рівнянні все навпаки. Логарифм від x² існує для всіх x, крім нуля, а 2 lg x лише для додатних. Якщо винести показник без модуля, рівняння втратить корінь −10, і перевірка цього не покаже, бо перевіряти вже нічого. Правильно виносити показник з модулем, і тоді логарифм від x² дорівнює двом логарифмам модуля x.

Що каже програма

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Рівняння, нерівності та їх системи». Ліворуч уміння для рівня стандарту і профільного рівня, праворуч лише для профільного. Джерело: testportal.gov.ua.

Найпростіші рівняння з логарифмічними виразами стоять у лівій колонці, тобто потрібні на обох рівнях. Складніші, з перетвореннями і заміною, програма відносить до профільного рівня. Усі чотири завдання ЗНО вище належать до найпростіших.

Чому я перевіряю корені навіть тоді, коли все очевидно

Підставити корінь у вихідне рівняння набагато швидше, ніж шукати помилку в перетвореннях. Я раджу робити це завжди і саме у вихідне рівняння, а не в те, що вийшло після перетворень. А від винесення парного показника без модуля раджу відмовитися зовсім, бо ця помилка не залишає жодних слідів у розв'язанні.

6 рівнянь для самоперевірки

У третьому і четвертому не забудьте перевірку, а в шостому подумайте, скільки коренів має рівняння.

Відповіді

Якщо в шостому вийшов лише корінь 8, ви винесли показник без модуля. Якщо в третьому лишився корінь −2, ви не перевірили, чи існує логарифм x.

Що таке логарифм і звідки беруться його властивості, пояснює стаття про логарифми через степені. Нерівності розв'язують за тими самими правилами, але з увагою до основи, про це стаття про логарифмічні нерівності. Огляд усієї теми для НМТ є в статті про логарифми та степені на НМТ.

Де потренуватися

Безкоштовний тест «Логарифмічні та показниково-логарифмічні рівняння», колода флешкарток до цієї теми і однойменний PDF-збірник.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а розв'язки вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 5 жовтня 2026 року. Найпростіші логарифмічні рівняння в чинній програмі потрібні на обох рівнях, складніші на профільному; чи зміниться це для НМТ-2027, поки не визначено.