Логарифмічні нерівності: основа менша за одиницю перевертає знак, а ОДЗ відрізає зайве

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Логарифмічну нерівність з однаковими основами розв'язують так: прибирають логарифми і порівнюють вирази під ними. Якщо основа більша за одиницю, знак нерівності зберігається. Якщо основа між нулем і одиницею, знак змінюється на протилежний. І в обох випадках вирази під логарифмами мають бути додатними, без цієї умови відповідь неповна.

Саме остання умова найчастіше коштує балів. У двох завданнях ЗНО, які ми розберемо, правильна відповідь відрізняється від одного з неправильних варіантів лише тим, чи врахована область визначення.

Чому знак то зберігається, то ні

Усе пояснюють графіки. Логарифм з основою 2 зростає, і більшому аргументу відповідає більше значення. Тому нерівність між логарифмами означає таку саму нерівність між аргументами. Логарифм з основою одна друга спадає, і більшому аргументу відповідає менше значення, тож при переході до аргументів знак перевертається. Окремо зубрити правило не обов'язково, досить уявити, куди йде графік.

Пастка з областю визначення

Ось завдання з ЗНО-2016.

Завдання 18 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Число −1 записуємо як логарифм з основою 3 від однієї третьої. Основа 3 більша за одиницю, тому x менше за одну третю. Але логарифм існує лише для додатних x, отже, правильна відповідь А, проміжок від нуля до однієї третьої. Варіант Б виглядає так само, тільки без лівої межі, і саме в ньому губиться умова, що x більше за нуль.

Завдання 15 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

У ЗНО-2017 та сама ідея захована в рисунок. Значення b функція набуває в точці 2 в степені b, а лівіше від цієї точки графік лежить нижче. Отже, x менше за 2 в степені b і водночас додатне, бо графік логарифма існує лише праворуч від осі y. Правильна відповідь А, а варіант В відрізняється від неї тільки відсутністю нуля зліва.

Коли основа менша за одиницю

Розв'яжемо нерівність, у якій логарифм з основою одна друга від x мінус 1 не менший за −2.

Спершу записуємо умову існування логарифма: x більше за 1. Потім число −2 подаємо як логарифм з тією самою основою, це логарифм від 4. Основа менша за одиницю, тому знак перевертаємо, і x − 1 не більше за 4. Разом з умовою виходить проміжок від 1 до 5, причому 1 не входить, а 5 входить.

Нерівність, що зводиться до квадратної

Якщо логарифм стоїть у нерівності в квадраті, допомагає заміна.

Після заміни виходить звичайна квадратна нерівність, як у статті про квадратні нерівності. Її розв'язок від 1 до 2, а повернення до x дає проміжок від 2 до 4. Умова x більше за нуль тут виконується сама собою, але записати її на початку варто завжди.

Графік і порівняння чисел

Розуміння того, як поводиться логарифм, перевіряють і без нерівностей.

Завдання 8 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Основа одна четверта менша за одиницю, тому функція спадає, її графік проходить через точку (1; 0) і існує лише при додатних x. Цим умовам відповідає тільки рисунок Д. На рисунках А і Б показникові функції, які перетинають вісь y, на В логарифм з основою, більшою за одиницю, а графік Г увесь лежить нижче осі x.

Завдання 12 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут треба порівняти три числа. Число 0,5 у степені −1 дорівнює 2. Логарифм числа 5 за основою 0,2 дорівнює −1, бо 0,2 у степені −1 якраз дає 5. Отже, c < b < a, відповідь А. Корисний орієнтир на майбутнє: логарифм з основою, меншою за одиницю, від числа, більшого за одиницю, завжди від'ємний.

Що є в довіднику, а чого немає

Розділ «Логарифми» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У цьому розділі довідника є основна логарифмічна тотожність і властивості логарифмів. Правила для нерівностей тут немає, як і формули переходу до іншої основи. Тож напрямок знака доведеться пам'ятати самому, і графік для цього найкраща підказка.

З чого я починаю кожну таку нерівність

Першим рядком я завжди пишу умову існування всіх логарифмів, ще до будь-яких перетворень. Це займає десять секунд і рятує від найчастішої помилки в темі. Другим кроком дивлюся на основу, більша вона за одиницю чи менша. Лише після цього прибираю логарифми. Якщо робити навпаки, легко отримати бездоганні перетворення і неправильну відповідь.

6 нерівностей для перевірки

У шостій спершу знайдіть область визначення, а потім скористайтеся властивістю суми логарифмів.

Відповіді

Якщо в шостій вийшов проміжок від −1 до 3, ви правильно розв'язали квадратну нерівність, але забули про область визначення. Саме вона відрізає все, що лівіше за 2.

Звідки беруться властивості логарифмів, пояснює стаття про логарифми через степені, а загальний огляд теми є в матеріалі про логарифми та степені на НМТ. Показникові нерівності розв'язують за тим самим принципом, і їм присвячено статтю про показникові рівняння й нерівності.

Рівняння з логарифмами розібрано в окремій статті про логарифмічні рівняння.

Тренування

Безкоштовний тест «Логарифмічні та показниково-логарифмічні нерівності», колода флешкарток до цієї теми і однойменний PDF-збірник.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а розв'язки вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал опубліковано 5 жовтня 2026 року. Найпростіші логарифмічні нерівності за чинною програмою належать до рівня стандарту, складніші до профільного; чи зміниться це для НМТ-2027, на цю дату не визначено.