Показникові рівняння й нерівності: одна основа, три способи і пастка з основою, меншою за одиницю

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Показникове рівняння розв'язують одним головним прийомом: обидві частини записують як степені з однаковою основою і прирівнюють показники. Якщо основи звести не вдається, виносять спільний множник, роблять заміну або логарифмують. У нерівностях додається одне-єдине питання, від якого залежить відповідь: основа більша за одиницю чи менша. Якщо більша, знак нерівності для показників зберігається, якщо менша, перевертається.

Тема здається другорядною, але на НМТ вона сидить і в простих, і в найдорожчих завданнях. У демонстраційному варіанті НМТ-2026 останнє, двадцять друге завдання було показниковим рівнянням з параметром. А ще одна корисна річ помітна без жодних обчислень: степінь з додатною основою завжди додатний, тому рівняння, де такий степінь дорівнює нулю чи від'ємному числу, коренів не має.

Умова для основи важлива: вона має бути додатною і не дорівнювати одиниці. Саме тому рівні степені з однаковою основою означають рівні показники, а нерівність між степенями перетворюється на нерівність між показниками.

Спосіб перший: звести до однієї основи

Більшість шкільних рівнянь розв'язується саме так. Вісім це два в кубі, чотири два в квадраті, тож рівняння, де чотири в степені x дорівнює восьми, перетворюється на рівність двох степенів двійки. Так само з дробами: одна дев'ята це три в мінус другому степені, а 0,2 це п'ять у мінус першому.

Щоб бачити спільну основу з першого погляду, корисно пам'ятати кілька степенів напам'ять. Таблиці степенів у довіднику НМТ немає, є лише таблиця квадратів.

Спосіб другий: винести спільний множник

Якщо в рівнянні стоїть сума чи різниця степенів з однаковою основою, але різними показниками, наприклад три в степені x плюс два і три в степені x, звести все до однієї основи не вийде. Зате можна винести за дужки степінь з найменшим показником. У дужках залишиться звичайне число, і рівняння стане простим.

Спосіб третій: заміна змінної

Коли в рівнянні є і чотири в степені x, і два в степені x, варто помітити, що перше дорівнює квадрату другого. Позначаємо два в степені x новою змінною t і отримуємо звичайне квадратне рівняння.

Тут головна пастка всієї теми. Степінь з додатною основою не буває від'ємним, тому корінь t = −1 відкидаємо одразу. Хто забуває про умову t > 0, дописує до відповіді зайвий «корінь», а в тесті з вибором відповіді такий варіант майже завжди є серед запропонованих.

Коли основи не зводяться

Рівняння, у якому два в степені x дорівнює п'яти, до однієї основи не зведеш: п'ять не є цілим степенем двійки. Тоді корінь записують через логарифм, і це вже нормальна відповідь, а не проміжний крок. Як логарифми пов'язані зі степенями, ми докладно розбирали в статті про логарифми через степені.

Інший випадок, трохи складніший, трапляється в задачах підвищеної складності. Якщо в рівнянні є степені з основами 9, 6 і 4, тобто квадрат трійки, добуток трійки на двійку і квадрат двійки, обидві частини ділять на чотири в степені x. Після цього залишається одна змінна, три других у степені x, і знову виходить квадратне рівняння.

Нерівності: спершу подивіться на основу

У показниковій нерівності все як у рівнянні, крім останнього кроку. Звели обидві частини до однієї основи, а далі дивимося, яка вона. Основа 2, 3 чи 5 більша за одиницю, функція зростає, знак переносимо на показники без змін. Основа одна третя чи 0,2 менша за одиницю, функція спадає, і знак треба перевернути. Щоб не помилитися, можна взагалі уникати основ, менших за одиницю: одна третя в степені x це те саме, що три в степені мінус x.

Останній приклад показує, що заміна змінної працює і в нерівностях. Знайшли, між якими числами лежить t, повертаємося до двійки в степені x і отримуємо подвійну нерівність для показника.

Де помиляються найчастіше

Перше місце впевнено тримає зайвий корінь після заміни, коли t від'ємне або дорівнює нулю. Друге займає неперевернутий знак у нерівності з основою, меншою за одиницю. Третє дроби: 0,5 треба бачити як два в мінус першому степені, а 0,25 як два в мінус другому. Якщо з цим важко, почніть з повторення дробів, про це є окрема стаття про те, чому проблеми з математикою починаються з дробів.

Четверте стосується дій зі степенями: під час винесення за дужки показники віднімають, а не ділять. Правила дій зі степенями зібрано в статті про степінь і його властивості. І п'яте: відповідь до нерівності записують проміжком, а не числом, і дужки, круглі чи квадратні, теж частина відповіді.

12 рівнянь і нерівностей для самоперевірки

Завдання на картинці, відповіді одразу після неї. У кожному спершу подумайте, яким з трьох способів його розв'язувати.

Відповіді

Якщо не вийшло восьме, зверніть увагу, що обидва значення t додатні, тому коренів два. У дев'ятому одне значення t від'ємне і відкидається.

Де потренуватися

На сайті є безкоштовні тести за темами «Показникові рівняння» і «Показникові нерівності», по 12 завдань у кожному, колоди флешкарток «Показникові рівняння» і «Показникові нерівності» та PDF-набори з рівнянь і з нерівностей.

У курсі підготовки до НМТ з математики урок про показникові рівняння веде Юрій Захарійченко, про якого ми нещодавно писали окрему статтю.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Приклад з параметром узято з демонстраційного варіанта НМТ-2026, відповіді до всіх рівнянь і нерівностей перевірено окремо.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 13 жовтня 2026 року. Показникові рівняння й нерівності входять до чинної програми; модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.