Кут між прямою і площиною: спершу перпендикуляр, а кут знайдеться сам

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Кут між прямою і площиною дорівнює куту між цією прямою та її проекцією на площину. Щоб його знайти, з будь-якої точки прямої опускають перпендикуляр на площину й отримують прямокутний трикутник із похилої, перпендикуляра і проекції. Кут між двома площинами вимірюють лінійним кутом: з однієї точки на спільній прямій у кожній площині проводять перпендикуляр до цієї прямої, і кут між цими перпендикулярами є шуканим.

Обидва кути ніколи не перевищують 90°. А найцікавіше видно зі схеми оцінювання ЗНО-2021: у завданні про кут між площинами половину балів давали не за обчислення, а за те, щоб правильно показати кут на рисунку й обґрунтувати його положення.

Дві побудови, які треба вміти

На лівому рисунку SO перпендикуляр до площини α, SA похила, а AO її проекція. Кут φ між похилою і проекцією і є кутом між прямою SA та площиною. Його синус дорівнює відношенню перпендикуляра до похилої, косинус відношенню проекції до похилої.

На правому рисунку дві півплощини зі спільною прямою l утворюють двогранний кут. З точки M прямої l проведено MA і MB, обидва перпендикулярні до l, кожен у своїй півплощині. Кут AMB називають лінійним кутом двогранного кута, і саме його градусна міра є мірою кута між площинами.

Циліндр у ЗНО-2021: кут між діагоналлю і основою

Завдання 31 ЗНО-2021 з математики, основна сесія, разом з відповіддю з офіційних матеріалів. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Твірна CD перпендикулярна до площини основи, тому проекцією діагоналі AC на основу є діаметр AD, а кут CAD дорівнює β. Далі все вирішує прямокутний трикутник ACD: діаметр дорівнює d cos β, висота d sin β, і об'єм виходить таким, як у відповіді. За схемою оцінювання завдання коштувало 4 бали, і один з них давали саме за те, щоб правильно вказати кут β. А ще схема попереджає: якщо рисунок не відповідає умові, не оцінюють жоден з результатів розв'язання.

Кут між площинами: продовження того самого циліндра

Завдання 32 ЗНО-2021 з математики, основна сесія, разом з відповіддю з офіційних матеріалів. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Площина KBD перетинає площину основи по прямій KD. Перпендикуляр з точки B на основу вже є, це твірна BA. Оскільки AD діаметр, кут AKD вписаний і спирається на діаметр, тож він прямий, і AK перпендикулярна до KD. За теоремою про три перпендикуляри тоді й BK перпендикулярна до KD. Отже, лінійним кутом є кут BKA, тобто γ.

Хорда AK стягує дугу 90°, тому вона в √2 разів менша за діаметр. Звідси тангенс γ дорівнює √2 tg β, що збігається з офіційною відповіддю. Завдання оцінювали двома балами, і перший з них давали за рисунок із правильно вказаним кутом γ та обґрунтуванням його положення. Тобто половину балів можна було отримати, ще нічого не обчисливши.

Нахил бічних граней піраміди: ЗНО-2019

Завдання 17 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Кут між бічною гранню і основою вимірюють лінійним кутом між апофемою і відрізком, що сполучає центр основи із серединою сторони. Цей відрізок дорівнює 3, тож апофема дорівнює 3, поділене на косинус 60°, тобто 6.

Перший рядок це звичайний спосіб через апофему, де S позначає площу бічної поверхні. Другий коротший і спирається на площу ортогональної проекції: усі бічні грані разом проектуються на основу, а площа проекції дорівнює площі фігури, помноженій на косинус кута між площинами. Обидва способи дають 72 см², відповідь А. Варто знати, що ортогональна проекція в програмі віднесена до профільного рівня, тому перший спосіб надійніший для всіх.

Чому я починаю з перпендикуляра, а не з кута

Учні часто намагаються одразу «побачити» кут на рисунку і позначають не той. Я раджу інший порядок. Спершу знайдіть перпендикуляр до площини, бо він майже завжди вже є на рисунку: бічне ребро прямої призми, твірна циліндра, висота піраміди. Потім з'єднайте його основу з потрібною точкою. Кут сам з'явиться в прямокутному трикутнику, і помилитися з ним буде важко. Схема оцінювання ЗНО-2021 показує, що саме цей крок укладачі вважали окремою навичкою.

6 задач на кути

1. Похила завдовжки 10 утворює з площиною кут 30°. Знайдіть довжину її проекції.
2. З точки, що лежить на відстані 6 від площини, проведено похилу завдовжки 12. Який кут вона утворює з площиною?
3. Знайдіть кут між діагоналлю грані A₁B куба ABCDA₁B₁C₁D₁ і площиною основи ABCD.
4. Знайдіть косинус кута між діагоналлю куба AC₁ і площиною основи ABCD.
5. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6, а висота 3√3. Знайдіть кут між бічною гранню і основою.
6. Трикутник площею 20 проектують на площину, яка утворює з площиною трикутника кут 60°. Знайдіть площу проекції.

Відповіді

У четвертому проекцією діагоналі куба на основу є діагональ основи, тому косинус дорівнює відношенню a√2 до a√3. У п'ятому тангенс кута дорівнює висоті, поділеній на половину сторони, тобто √3.

Теорему, без якої не обійтися в задачі про площину KBD, розібрано в статті про теорему про три перпендикуляри. Кути між прямими, які не перетинаються, пояснює стаття про мимобіжні прямі. Формули циліндра зібрано в статті про тіла обертання, а піраміди в статті про формули піраміди.

Де потренуватися

Безкоштовний тест «Аксіоми стереометрії. Прямі та площини» і збірник «Стереометрія НМТ: 90 задач з відкритою відповіддю», де кути трапляються в багатьох задачах.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання, відповіді та схеми оцінювання взято з матеріалів ЗНО на testportal.gov.ua, а відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді до сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, схеми оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю ЗНО-2021 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2019 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал вийшов 5 жовтня 2026 року. Кути між прямими й площинами та двогранний кут у чинній програмі потрібні на обох рівнях, ортогональна проекція лише на профільному; чи зміниться це для НМТ-2027, поки не визначено.