Мимобіжні прямі: не перетинаються, не паралельні, а кут між ними буває прямим

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Дві прямі в просторі можуть перетинатися, бути паралельними або бути мимобіжними. Мимобіжні прямі не перетинаються і при цьому не паралельні, бо не лежать в одній площині. Найпростіше побачити їх на кубі: переднє нижнє ребро і заднє бічне ребро ніколи не зустрінуться, хоча й не паралельні одне одному.

Неочевидне тут те, що кут між мимобіжними прямими існує і може дорівнювати 90°. Дві прямі бувають перпендикулярними, навіть якщо вони не мають жодної спільної точки.

На рисунку три можливі випадки для двох прямих. Мимобіжність у багатьох українських підручниках позначають знаком ∸, і він знадобиться у відповідях до вправ.

Як переконатися, що прямі мимобіжні

Для цього є ознака. Якщо одна пряма лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то такі прямі мимобіжні.

Логіка проста. Якби прямі a і b лежали в одній площині, то ця площина містила б пряму a і точку M, тобто збігалася б з α. Тоді й уся пряма b лежала б в α, а вона цю площину лише перетинає. Отже, спільної площини в прямих немає.

Кут між прямими, які не перетинаються

Щоб виміряти кут між мимобіжними прямими, одну з них зсувають паралельно, доки вона не перетне другу. Кут між прямими, що вийшли, і вважають кутом між мимобіжними. У кубі для цього зазвичай не треба нічого будувати, бо паралельна пряма вже є серед ребер або діагоналей граней.

Пряма AB₁ паралельна DC₁, бо обидві є діагоналями протилежних граней і разом утворюють прямокутник AB₁C₁D. А діагоналі DC₁ і CD₁ однієї квадратної грані перпендикулярні. Тому кут між мимобіжними прямими AB₁ і CD₁ дорівнює 90°.

Куб у ЗНО-2019

Завдання 24 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Прямі AC і CC₁ перетинаються в точці C під прямим кутом, бо бічне ребро перпендикулярне до основи, отже, 1В. Пару AB₁ і CD₁ ми щойно розібрали, вони мимобіжні, звідси 2Б. Прямі AC і CD₁ перетинаються в точці C, а трикутник ACD₁ рівносторонній, бо всі його сторони є діагоналями граней, тому кут 60° і 3Д. Нарешті AB₁ і C₁D паралельні, 4А.

Цікаво, що в цьому завданні мимобіжні прямі AB₁ і CD₁ насправді перпендикулярні. Варіант В «прямі перетинаються й утворюють прямий кут» для них не підходить саме через слово «перетинаються».

Три твердження з ЗНО-2016

Завдання 10 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Мимобіжні прямі не перетинаються і не лежать в одній площині, тож перші два твердження хибні. Третє правильне: через будь-яку точку прямої b можна провести пряму, паралельну a, і вона перетне b у цій точці. Відповідь В.

Пряма і площина, дві площини

Паралельність у просторі не обмежується прямими. Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якійсь прямій, що лежить у цій площині, і сама в площині не лежить. Дві площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, в одній площині відповідно паралельні двом прямим іншої. У кубі протилежні грані паралельні саме з цієї причини, і будь-яке ребро верхньої грані паралельне нижній основі.

Що з цього є в програмі

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, тема «Прямі та площини у просторі». Ліворуч зміст для рівня стандарту і профільного рівня, праворуч лише для профільного. Джерело: testportal.gov.ua.

Взаємне розміщення прямих і кут між прямими стоять у лівій колонці, тобто потрібні всім. А от ознака мимобіжних прямих і відстань між мимобіжними прямими записані праворуч, для профільного рівня. Тож обґрунтовувати мимобіжність за ознакою вимагають лише на профільному рівні, а розпізнати мимобіжні прямі на рисунку мусить кожен.

Чому я завжди малюю куб

Майже будь-яке запитання про взаємне розміщення прямих і площин можна перевірити на кубі. Ребра дають усі три випадки для прямих, грані дають паралельні й перпендикулярні площини, а діагоналі граней дають кути 45°, 60° і 90°. Я раджу учням тримати в голові цю модель і, коли твердження здається сумнівним, шукати на кубі контрприклад. Це швидше, ніж згадувати теореми.

6 пар прямих у кубі

У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ визначте взаємне розміщення прямих, а для мимобіжних ще й кут між ними.

1. AA₁ і CD
2. AB і C₁D₁
3. A₁B і B₁C
4. AC і B₁D₁
5. AD₁ і BC₁
6. BD₁ і AC

Відповіді

У третьому пряма B₁C паралельна A₁D, а трикутник A₁BD рівносторонній, звідси 60°. У четвертому B₁D₁ паралельна BD, а діагоналі квадрата перпендикулярні. Шоста відповідь найцікавіша: діагональ куба перпендикулярна до діагоналі грані, з якою вона не перетинається. Це наслідок теореми, якій присвячено статтю про теорему про три перпендикуляри.

Основи, з яких виростає вся тема, розібрано в статті про аксіоми стереометрії, а кути між прямою і площиною в статті про кут між прямою і площиною. Як стереометрія виглядає на тесті загалом, читайте в огляді стереометрії на НМТ.

Потренуватися

Тема входить до безкоштовного тесту «Аксіоми стереометрії. Прямі та площини». До нього є колода флешкарток і однойменний PDF-збірник.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання і фрагмент програми взято з документів на testportal.gov.ua, відповіді до завдань ЗНО звірено з ключами УЦОЯО, а кути у вправах перевірено координатним методом.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2019 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації: 5 жовтня 2026 року. Ознака мимобіжних прямих і відстань між ними в чинній програмі належать до профільного рівня, решта теми до обох; чи зміниться це для НМТ-2027, на цю дату не відомо.