Аксіоми стереометрії: чому стілець на трьох ніжках ніколи не хитається

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Аксіоми стереометрії описують, як точки, прямі й площини можуть розташовуватися одна відносно одної. Головний практичний наслідок з них такий: через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна. Звідси стійкість стільця на трьох ніжках. Кінці трьох ніжок завжди лежать в одній площині, тобто на підлозі, а кінці чотирьох можуть і не лежати, тому чотириногий стілець інколи хитається.

У тестах цю тему перевіряють твердженнями, які треба визнати правильними або хибними. Формул там немає зовсім, і все вирішує одне слово, наприклад «лише одну» чи «існує».

Чотири способи задати площину

Площину однозначно задають три точки, що не лежать на одній прямій, пряма і точка поза нею, дві прямі, що перетинаються, і дві паралельні прямі. Це чотири різні описи одного факту: у кожному випадку можна знайти три точки, які не лежать на одній прямій. А от дві мимобіжні прямі площину не задають, бо в одній площині вони не лежать. Їм присвячено окрему статтю про мимобіжні прямі.

Три аксіоми, з яких усе починається

У більшості шкільних підручників до аксіом планіметрії додають три нові. Перша каже, що для будь-якої площини існують точки, які їй належать, і точки, які не належать. Друга каже, що дві різні площини зі спільною точкою перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Третя каже, що через дві різні прямі зі спільною точкою можна провести площину, і тільки одну.

З цих трьох речень виводять усе інше. Наприклад, якщо дві точки прямої лежать у площині, то в ній лежить уся пряма. Звідси ж випливає, що дві різні площини не можуть мати рівно одну спільну точку: одна спільна точка одразу тягне за собою цілу спільну пряму.

Що з цього питають у тестах

Завдання 8 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Перше твердження правильне, це наслідок з аксіом: пряма і точка поза нею задають одну площину. Друге хибне, і в цьому вся хитрість завдання. Через точку A можна провести пряму, паралельну m, а через цю пряму безліч площин. Кожна з них, крім площини, що містить саму пряму m, паралельна прямій m. Третє правильне: площина через точку, перпендикулярна до прямої, єдина. Відповідь Б.

Завдання 10 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут точка лежить у самій площині. Перпендикулярну пряму через неї провести можна, і перпендикулярну площину теж, причому таких площин безліч. А от паралельну площину через точку площини α провести не можна. Будь-яка площина, що проходить через цю точку, або перетинає α, або збігається з нею, а площина не вважається паралельною сама собі. Відповідь Г.

Завдання 9 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Дві паралельні прямі задають площину, тому перше твердження правильне. Друге теж: будь-яка пряма, що з'єднує точку на m з точкою на n, перетинає обидві. Третє хибне, бо паралельні прямі за означенням не мають спільних точок. Відповідь Д.

Як я раджу читати такі твердження

Завдання на аксіоми коротші за будь-яку задачу на об'єми, і формули в них не потрібні. Але саме тому їх часто розв'язують на автоматі. Я раджу читати кожне твердження двічі, і вдруге свідомо шукати ситуацію, в якій воно хибне. Якщо придумати таку ситуацію не вдається, твердження правильне. Особливу увагу варто приділяти словам «лише одну», «існує» і «можна»: від них відповідь змінюється частіше, ніж від самої геометрії.

6 тверджень для самоперевірки

У перших чотирьох визначте, правильне твердження чи хибне, а в п'ятому і шостому дайте число.

1. Через будь-які три точки проходить хоча б одна площина.
2. Через будь-які три точки проходить тільки одна площина.
3. Дві різні площини можуть мати рівно одну спільну точку.
4. Через дві мимобіжні прямі можна провести площину.
5. Чотири точки не лежать в одній площині. Скільки різних площин проходить через трійки цих точок?
6. Три прямі попарно перетинаються, але не проходять через одну точку. Скільки площин вони задають?

Відповіді

Друге твердження хибне через точки, що лежать на одній прямій: через них проходить безліч площин. У шостому всі три прямі лежать в одній площині, бо дві з них задають площину, а третя має з нею дві спільні точки.

Як ці факти працюють у задачах на об'єми і площі, видно в огляді стереометрії на НМТ. Перпендикулярність прямих і площин розібрано в статті про теорему про три перпендикуляри, а кути між ними в статті про кут між прямою і площиною.

Де ще потренуватися

Безкоштовний тест «Аксіоми стереометрії. Прямі та площини», колода флешкарток і PDF-збірник з тією самою назвою.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття вийшла 5 жовтня 2026 року. Аксіоми і теореми стереометрії в чинній програмі потрібні на обох рівнях; чи зміниться перелік тем для НМТ-2027, поки не визначено.