Ірраціональні рівняння: корінь може бути від'ємним, а перевірка обов'язкова

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Ірраціональне рівняння розв'язують так: відокремлюють корінь, підносять обидві частини до квадрата і розв'язують те, що вийшло. Потім обов'язково перевіряють корені, бо піднесення до квадрата може додати зайві. Головне, що треба знати про ці рівняння: корінь рівняння зовсім не зобов'язаний бути додатним. У ЗНО-2021 у рівнянні, де корінь з x плюс 12 дорівнює 3, правильна відповідь x = −3. На розборах ми раз у раз бачимо, як таку відповідь відкидають саме через мінус.

Невід'ємним має бути значення кореня, тобто права частина рівняння. Сам x може бути яким завгодно. Ця плутанина коштує балів частіше, ніж будь-яка арифметика.

Зверніть увагу на другу умову в системі. Вона й відрізняє правильне розв'язання від того, у якому з'являються сторонні корені. Умову, що підкореневий вираз невід'ємний, окремо писати не треба: він дорівнює квадрату, а квадрат невід'ємний автоматично.

Звідки беруться сторонні корені

Коли підносимо до квадрата, рівняння a = b перетворюється на a в квадраті дорівнює b в квадраті. Але друге рівняння виконується і тоді, коли a = −b. Саме ці «чужі» розв'язки і з'являються. Подивіться на простий приклад.

Тут криється неочевидна річ. Корінь x = −1 задовольняє область допустимих значень: під коренем стоїть 1, усе законно. І все одно він сторонній, бо ліва частина дорівнює 1, а права −1. Тобто перевірка за ОДЗ такий корінь не відсіює. Відсіює лише умова, що права частина невід'ємна, або пряма підстановка в початкове рівняння.

Три завдання ЗНО, на яких це видно

Почнімо з того самого завдання 2021 року.

Завдання 10 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Підносимо до квадрата: x + 12 = 9, звідки x = −3. Права частина рівняння дорівнює 3, вона додатна, тож сторонніх коренів тут бути не може. Перевірка підстановкою: під коренем 9, корінь дорівнює 3. Правильна відповідь Б. Хто вирішив, що від'ємний корінь «не підходить», шукав відповідь серед В і Г і не знаходив, бо розв'язок там не лежить.

Завдання 9 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Та сама ситуація. Після піднесення до квадрата 6 − 4x = 16, отже x = −2,5, а це проміжок А. Перевірка: 6 + 10 = 16, корінь дорівнює 4. Знову від'ємний корінь, і знову все правильно.

Завдання 7 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Спершу ділимо на 4: корінь з x дорівнює одній четвертій. Потім підносимо до квадрата і отримуємо одну шістнадцяту, відповідь Д. Варіанти тут підібрано під типові збої: одна друга виходить, якщо забути піднести до квадрата і взяти корінь з одної четвертої, 16 виходить, якщо перевернути дріб, а пара чисел із мінусом підходить для рівняння з x у квадраті, а не з коренем.

Коли коренів два

Якщо в рівнянні два корені, один з них переносять в іншу частину, щоб ліворуч залишився «самотній» корінь, і тільки тоді підносять до квадрата. Інколи піднесення доводиться робити двічі.

Тут обидва значення пройшли перевірку. Так буває, і це нормально: сторонні корені з'являються не завжди, але перевіряти треба завжди.

Заміна змінної

Якщо в рівнянні стоять і x, і корінь з x, зручно позначити корінь з x новою буквою. Тоді x стає квадратом цієї букви, і рівняння перетворюється на квадратне. Головне не забути, що нова змінна невід'ємна.

Кубічний корінь і добуток з коренем

Із кубічним коренем усе простіше. Піднесення до непарного степеня не створює сторонніх коренів, бо куб від'ємного числа від'ємний і інформація про знак не губиться. Тому рівняння з кубічним коренем можна розв'язувати без перевірки.

А от у рівнянні, де добуток дорівнює нулю і один із множників містить корінь, навпаки, уже потрібна ОДЗ. Множник x − 3 перетворюється на нуль при x = 3, але тоді під коренем стоїть −2, і другий множник не існує.

Виходить, що в різних рівняннях сторонні корені відсіює різна умова: в одних знак правої частини, в інших область допустимих значень. Через це я раджу не вибирати, а просто підставляти знайдені корені в початкове рівняння. Це займає півхвилини і заодно ловить арифметичні помилки, яких ОДЗ не помітить ніколи.

Нагадаю й програмну деталь. У програмі ЗНО з математики, на яку посилаються документи НМТ, найпростіші ірраціональні рівняння віднесено до рівня стандарту, а ірраціональні нерівності лише до профільного рівня. Тому в цій статті нерівностей немає.

8 рівнянь для самоперевірки

У другому та сьомому подумайте, які корені залишаться після перевірки. Третє розв'язується без жодних обчислень.

Відповіді

Якщо не вийшло друге, поверніться до розділу про сторонні корені. Для впевненої роботи з цими рівняннями потрібні властивості коренів, про них стаття про корінь n-го степеня. А квадратні рівняння, до яких зводиться більшість прикладів, розібрано в статті про лінійні, квадратні й дробово-раціональні рівняння. Інші місця, де на тесті губляться бали, зібрано в огляді типових помилок НМТ з математики.

Потренуватися на сайті

Безкоштовний тест за темою «Ірраціональні рівняння», однойменна колода флешкарток і PDF-набір завдань.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, правильні відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а відповіді до вправ перевірено підстановкою.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 5 жовтня 2026 року. Спирається на програму ЗНО 2019 року, яку використовували для НМТ-2026; яким буде НМТ-2027, поки офіційно не оголошено.