Корінь n-го степеня і степінь з раціональним показником: коли мінус під коренем дозволений

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Корінь n-го степеня з числа a це таке число, n-й степінь якого дорівнює a. Усе інше в темі залежить від одного питання: n парне чи непарне. Корінь непарного степеня існує з будь-якого числа, зокрема з від'ємного: кубічний корінь з −8 дорівнює −2. Корінь парного степеня береться лише з невід'ємного числа і сам завжди невід'ємний, тому квадратного кореня з −4 серед дійсних чисел немає.

Тепер факт, який дивує навіть добрих учнів. Кубічний корінь з −8 існує, а от степінь −8 з показником одна третя за шкільним означенням не визначений. У довідкових матеріалах НМТ формула переходу від кореня до дробового показника записана лише для a > 0, і це не примха укладачів.

Парний і непарний показник кореня

На картинці вище три рядки, які варто тримати в голові. Арифметичний корінь парного степеня завжди невід'ємний: корінь четвертого степеня з 16 дорівнює 2, а не «плюс-мінус 2». Плюс-мінус з'являється тоді, коли розв'язують рівняння, наприклад x у четвертому степені дорівнює 16. Тут два корені, 2 і −2, але сам знак кореня дає лише одне число.

З непарним показником простіше. Кубічний корінь з −27 дорівнює −3, корінь п'ятого степеня з −32 дорівнює −2. Мінус просто виноситься з-під кореня.

Шість властивостей, які працюють і для квадратного кореня

Якщо ви вже вмієте працювати з квадратними коренями, нового тут майже немає: ті самі правила, лише показник кореня може бути будь-яким. Про квадратні корені є окрема стаття про квадратні корені та їхні властивості, а тут зосередимося на тому, що змінюється.

Найчастіше помиляються в останньому рядку. Корінь парного степеня з числа в тому самому степені дорівнює модулю числа, а не самому числу. Наприклад, корінь четвертого степеня з (−3) у четвертому степені дорівнює 3. Для непарного показника модуль не потрібен.

Друга часта помилка: корені складають так само, як множать. Корінь з 9 плюс корінь з 16 дорівнює 7, а корінь з 25 дорівнює 5. Для суми жодної властивості немає.

Як корінь перетворюється на степінь

Ось рядки зі справжніх довідкових матеріалів НМТ-2026, які учень бачить на екрані під час тесту.

Фрагмент довідкових матеріалів з математики НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Зверніть увагу на четвертий рядок і на умову a > 0 після нього. Саме через неї степінь з дробовим показником для від'ємної основи не розглядають. Причина проста. Якби дозволили записати −8 у степені одна третя як кубічний корінь з −8, вийшло б −2. Але одна третя дорівнює двом шостим, і той самий вираз довелося б рахувати як корінь шостого степеня з 64, тобто 2. Одне число не може мати два різні значення, тому від'ємні основи з дробового показника просто вилучили.

Решта правил для степенів з раціональним показником ті самі, що й для натуральних: показники додають при множенні, віднімають при діленні, перемножують при піднесенні степеня до степеня. Нагадування є в статті про степінь і його властивості.

Останній приклад показує, навіщо взагалі переходити до степенів. Добуток квадратного і кубічного коренів з x за властивостями коренів не спростиш, бо показники різні. А як степінь він рахується в один рядок: одна друга плюс одна третя дає п'ять шостих.

Між якими цілими лежить корінь

Оцінити корінь без калькулятора це окремий тип завдань, і він трапляється в тестах. Ось приклад із ЗНО-2016.

Завдання 9 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Розв'язок займає один рядок: два в кубі дорівнює 8, три в кубі дорівнює 27, а 18 лежить між ними. Отже, кубічний корінь з 18 більший за 2 і менший за 3, правильна відповідь В. Якщо ж помилково рахувати квадратний корінь, вийде число між 4 і 5, тобто варіант Д. Укладачі тесту такий варіант додали недарма.

Корисно знати напам'ять куби чисел хоча б до 6: 1, 8, 27, 64, 125, 216. Тоді будь-який кубічний корінь оцінюється за секунди.

Графік кореня і чим він відрізняється від кубічного

Наступне завдання з додаткової сесії ЗНО-2020 перевіряє, чи пам'ятаєте ви вигляд графіка.

Завдання 11 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Правильна відповідь Д: графік квадратного кореня починається в нулі, існує лише праворуч від осі y і росте дедалі повільніше. Найцікавіший тут варіант Г. Це графік кубічного кореня: він визначений для всіх x, проходить через початок координат і симетричний відносно нього. Варіант А дзеркальний до правильного відносно осі y, тобто це корінь з −x.

Ще одне завдання про ту саму функцію, з основної сесії ЗНО-2019.

Завдання 9 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Відповідь А. Функція набуває лише невід'ємних значень, бо арифметичний корінь не буває від'ємним. Вона не спадає, а зростає. Парною бути не може, бо область визначення несиметрична: від'ємних x у ній немає. Періодичності й двох точок екстремуму тут теж немає. Варто запам'ятати сам хід думки: про парність спершу питають область визначення, а вже потім формулу.

Що я раджу вчити, а що ні

Окремо зубрити «властивості коренів» я б не радив. Кожна з них виходить з однієї формули, тієї, що є в довіднику: корінь перетворюємо на степінь з дробовим показником і користуємося правилами дій зі степенями. Так учень пам'ятає одну річ замість шести, і саме так зручно спрощувати вирази з різними коренями. Виняток один, модуль у властивості кореня парного степеня. Його в довіднику немає, і саме на ньому губляться бали.

10 вправ для перевірки

Спершу спробуйте без підглядання. У шостій і сьомій вправах подумайте про модуль, у дев'ятій перейдіть до степенів.

Відповіді

Якщо помилка була в сьомій, поверніться до розділу про парний показник. Далі логічно братися за рівняння, де невідома стоїть під коренем: про це наступна стаття про ірраціональні рівняння і сторонні корені. Корінь n-го степеня також з'являється в розборі довідкових матеріалів НМТ з математики.

Де ще потренуватися

Безкоштовний тест за темою «Ірраціональні вирази», колода флешкарток «Ірраціональні вирази» і PDF-тренажер «Степені, корені, логарифми».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Усі тестові завдання в статті взято із сертифікаційних робіт, які УЦОЯО оприлюднює на testportal.gov.ua, відповіді звірено з офіційними ключами.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Корінь n-го степеня і степінь з раціональним показником входять до чинної програми; модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.