Рівняння прямої в просторі. Кут між прямою і площиною шукають через синус, а не косинус

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Пряму в просторі задають точкою M₀(x₀; y₀; z₀) і ненульовим напрямним вектором s(m; n; p), паралельним прямій. Параметричні рівняння мають вигляд x = x₀ + mt, y = y₀ + nt, z = z₀ + pt, де параметр t пробігає всі дійсні числа. Якщо з кожного виразити t, вийдуть канонічні рівняння, у яких різниці x − x₀, y − y₀ і z − z₀, поділені відповідно на m, n і p, рівні між собою.

Кут φ між прямою та площиною знаходять через синус. Синус φ дорівнює модулю скалярного добутку s · n, поділеному на |s| · |n|, де n(A; B; C) це нормальний вектор площини Ax + By + Cz + D = 0. Якщо за звичкою написати косинус, вийде кут між прямою та нормаллю. Для діагоналі куба й нижньої грані це 54,74° замість правильних 35,26°.

Нормальний вектор n перпендикулярний до площини, тому кут ψ між векторами s і n разом із шуканим кутом φ становить 90°. Звідси cos ψ = sin φ, і звична формула кута між векторами відразу дає синус φ. Скалярний добуток s · n дорівнює сумі mA + nB + pC, а довжина вектора дорівнює кореню із суми квадратів його координат.

Модуль у чисельнику потрібен, бо нормаль можна напрямити й униз. Тоді кут між векторами стане тупим, скалярний добуток від'ємним, а кут між прямою та площиною не зміниться. Чому коефіцієнти при x, y і z дають саме нормаль, видно зі статті про рівняння площини.

Від точки й вектора до рівнянь

Нехай пряма проходить через точку M₀(1; 0; −1) паралельно вектору s(1; 2; 2). Будь-яку її точку отримують, відклавши від M₀ вектор t · s. При t = 0 це сама M₀, при t = 1 точка (2; 2; 1), а при t = −1 точка (0; −2; −3).

Покоординатно це три рівності x = 1 + t, y = 2t, z = −1 + 2t. Параметр t зручно уявляти як час, а s як швидкість точки, що рухається вздовж прямої. Канонічні рівняння отримують, виразивши t з кожної рівності. Якщо ж пряму задано двома точками, напрямним вектором беруть різницю їхніх координат.

У нижньому рядку рисунка пряма має напрямний вектор s(1; 0; 2), і в її канонічних рівняннях у знаменнику стоїть нуль. Ділити на нуль ніхто не пропонує. Такий запис означає лише, що чисельник теж нуль, тобто y = 3 для всіх точок прямої, а в параметричному записі це видно без жодних умовностей.

Пряма, задана двома площинами

На площині пряму задає одне рівняння, як у статті про рівняння прямої. У просторі одне лінійне рівняння задає вже площину, тому для прямої потрібні два. Для площин x + y + z = 2 і x − y = 0 нормальні вектори n₁(1; 1; 1) і n₂(1; −1; 0) читаємо прямо з коефіцієнтів.

Пряма лежить в обох площинах, тому її напрямний вектор перпендикулярний до обох нормалей. Такий вектор дає векторний добуток n₁ × n₂, який рахують через визначник.

Обидва скалярні добутки в четвертому рядку дорівнюють нулю, і вектор (1; 1; −2) справді перпендикулярний до обох нормалей. Точку на прямій знаходять, задавши одну координату довільно. При x = 0 друге рівняння дає y = 0, а перше z = 2.

Діагональ куба й нижня грань

Перевірмо формулу з синусом там, де відповідь відома зі шкільної геометрії. У кубі з ребром 1 вершину A поставимо в початок координат, а основу ABCD розмістимо в площині z = 0. Діагональ AC₁ має напрямний вектор s(1; 1; 1), а нормаль до основи n(0; 0; 1).

Координати дають sin φ, що дорівнює одиниці, поділеній на √3, тобто φ ≈ 35,26°. За шкільним означенням це кут між діагоналлю та її проєкцією AC на основу. У прямокутному трикутнику ACC₁ катети AC = √2 і CC₁ = 1, тому tg φ дорівнює одиниці, поділеній на √2, і арктангенс дає ті самі 35,26°. Цей спосіб без координат докладно описано в статті про кут між прямою та площиною.

Косинус замість синуса дає 54,74°. Це теж кут з рисунка, тільки між діагоналлю й ребром CC₁, яке паралельне нормалі. У сумі два кути дають 90°, як і гострі кути будь-якого прямокутного трикутника. Обидва числа правдоподібні, тому помилку видно лише на рисунку.

Кути, яких немає в таблиці, записують через арксинус чи арктангенс, тобто через обернені тригонометричні функції.

Що з цього є в шкільній програмі

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Прямі та площини у просторі». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, у кожній частині окремі колонки для рівня стандарту й тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Кут між прямою та площиною й відстань від точки до площини входять у зміст рівня стандарту. Ознаку мимобіжних прямих і відстань між ними винесено в колонку профільного рівня. Рівнянь прямої в просторі програма не містить у жодній колонці, і ті самі кути й відстані в школі шукають без координат. Методи різні, а відповіді, як показав куб, збігаються.

Точка перетину з площиною за один крок

Параметричні рівняння зручні тим, що точку перетину прямої з площиною дає одне рівняння з одним невідомим. Візьмемо пряму з першого прикладу, x = 1 + t, y = 2t, z = −1 + 2t, і площину x + y + z = 6. Координати точки прямої підставляємо в рівняння площини.

Підстановка дає 5t = 6, тобто t = 1,2, і точку перетину (2,2; 2,4; 1,4), координати якої в сумі дають 6. Коефіцієнт 5 при t не випадковий. Це скалярний добуток напрямного вектора s(1; 2; 2) і нормалі n(1; 1; 1).

Якщо такий добуток дорівнює нулю, t зникає з рівняння, і пряма або паралельна площині, або цілком лежить у ній. Формула кута тоді дає sin φ = 0, що узгоджується з паралельністю.

Кут між прямими й мимобіжність

Для двох прямих синус не потрібен. Кут між ними дорівнює куту між напрямними векторами s₁ і s₂, тож його косинус дорівнює модулю добутку s₁ · s₂, поділеному на |s₁| · |s₂|. Модуль і тут стоїть тому, що кут між прямими не буває тупим.

У тому самому кубі діагональ AC₁ і діагональ основи BD не перетинаються й не паралельні, тобто це мимобіжні прямі. Щоб довести це в координатах, перевіряють дві умови. Напрямні вектори не пропорційні, а мішаний добуток вектора AB, що з'єднує точки цих прямих, і двох напрямних не дорівнює нулю. Рахують цей добуток як визначник з координат трьох векторів.

Тут мішаний добуток дорівнює −1, а скалярний добуток s₁ · s₂ = 0. Тож прямі мимобіжні й до того ж перпендикулярні. Без координат це доводять за шкільною ознакою зі статті про мимобіжні прямі.

Відстань від точки до прямої через площу

Точка (0; 3; 4) віддалена від осі Ox на 5, бо це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 3 і 4. Загальна формула каже, що відстань від точки M₀ до прямої дорівнює модулю векторного добутку M₁M₀ × s, поділеному на |s|, де M₁ це будь-яка точка прямої.

Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторі M₁M₀ і напрямному векторі s. Якщо поділити площу на основу |s|, отримаємо висоту, а вона і є відстанню від M₀ до прямої. Для осі Ox беремо M₁(0; 0; 0) і s(1; 0; 0), векторний добуток дорівнює (0; 4; −3), і його довжина 5 збігається з очевидною відповіддю.

Чому я раджу параметричний запис

Я раджу переходити до параметричних рівнянь, хоч би в якому вигляді задано пряму. У них немає знаменників, тож нуль у координаті напрямного вектора нічого не ламає. Точку перетину з площиною вони дають за один крок, а будь-яку точку прямої можна отримати, підставивши число замість t. Канонічний запис я залишаю для відповіді, якщо його вимагає умова.

Шість задач на пряму в просторі

Нормаль площини в третій задачі краще виписати окремо, ще до підстановки у формулу.

Відповіді

Хто отримав у третій 60°, той замінив синус косинусом і знайшов кут між прямою та нормаллю. Відповідь 120° у четвертій з'являється, коли в чисельнику немає модуля, і замість кута між прямими виходить суміжний з ним.

Збірники для практики

Пряму й площину в просторі, а також пряму на площині та криві другого порядку охоплює збірник «Аналітична геометрія» з відповідями до вправ наприкінці. Скалярний, векторний і мішаний добутки, без яких у цій темі не обійтися, відпрацьовує збірник «Вектори».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Добір тем узято з розділу про пряму й площину в просторі силабусу КПІ, а кожне число в прикладах і задачах перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 12 жовтня 2026 року. У курсі аналітичної геометрії пряма в просторі йде одразу після площини, тому ці дві статті зручно читати разом.