Еліпс. Канонічне рівняння, площа πab і периметр, для якого немає простої точної формули

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

У канонічному рівнянні еліпса сума x², поділеного на a², і y², поділеного на b², дорівнює 1, де a ≥ b > 0 це велика й мала півосі. Фокуси лежать на осі Ox у точках F₁(−c; 0) і F₂(c; 0), де c² = a² − b². Для кожної точки еліпса сума відстаней до двох фокусів однакова й дорівнює 2a. Ексцентриситет e дорівнює відношенню c до a, тому 0 ≤ e < 1. Площа еліпса S = πab.

Для периметра такої простої формули немає. Через елементарні функції він не виражається взагалі. Навіть для еліпса з півосями 5 і 3 відповідь 25,527 отримують чисельно або за наближеною формулою Рамануджана, яка дає 25,52699 проти точних 25,52700.

Велика піввісь a дорівнює половині найдовшої хорди еліпса, а мала піввісь b дорівнює половині відрізка осі Oy, що лежить усередині еліпса. Число c дорівнює відстані від центра до фокуса, а r₁ і r₂ це відстані від точки еліпса до фокусів F₁ і F₂. Коли c = 0, фокуси зливаються в центрі, e = 0, і еліпс стає колом радіуса a.

У курсі аналітичної геометрії еліпс вивчають після прямої на площині, якій присвячено статтю про рівняння прямої. Обидві лінії задають рівнянням з x і y, але в еліпса змінні стоять у квадраті.

Еліпс із півосями 5 і 3

Візьмемо рівняння, у якому x² ділять на 25, а y² на 9. Тоді a = 5, b = 3 і c² = 25 − 9 = 16, тобто c = 4. Фокуси лежать у точках (−4; 0) і (4; 0), ексцентриситет e = 0,8, а площа дорівнює 15π ≈ 47,12.

Точка M(3; 2,4) лежить на еліпсі, бо після підстановки в рівняння виходить 0,36 + 0,64 = 1. До фокуса F₁ від неї 7,4, до F₂ 2,6, і в сумі 10, тобто 2a. Ті самі відстані дають формули r₁ = a + ex і r₂ = a − ex, бо 5 + 0,8 · 3 = 7,4 і 5 − 0,8 · 3 = 2,6. Тут x означає абсцису точки.

Звідки c² = a² − b², видно з вершини B(0; b) на малій осі. Вона однаково віддалена від обох фокусів, а сума відстаней дорівнює 2a, тож до кожного фокуса рівно a. Центр, фокус і вершина B утворюють прямокутний трикутник з катетами b і c та гіпотенузою a, і теорема Піфагора дає a² = b² + c².

Я раджу не запам'ятовувати формулу для c окремо, а щоразу уявляти цей трикутник. Він не дасть сплутати еліпс із гіперболою, де c² = a² + b², бо в еліпсі гіпотенузою є саме a, найбільше з трьох чисел.

Площа стиснутого круга

Стиснемо коло радіуса 5 до осі Ox так, щоб кожна ордината помножилася на 0,6, тобто на відношення b до a. Точка кола (3; 4) перейде в точку (3; 2,4), саме в M з попереднього рисунка, а все коло стане нашим еліпсом.

Кожна вертикальна хорда стала коротшою в тому самому відношенні, тому й площа, складена з таких хорд, зменшилася так само. Площа круга 25π, помножена на 0,6, дає 15π ≈ 47,12. Загалом πa², помножене на відношення b до a, дорівнює πab, а при a = b = R виходить площа круга πR² зі статті про коло й круг.

Ту саму відповідь дає інтеграл. Верхня половина еліпса є графіком функції, і площу під нею рахують так само, як площу криволінійної трапеції. Як знайти площу інших фігур, підкаже довідник формул площ і об'ємів.

Стиснення пояснює й параметричні рівняння x = a cos t, y = b sin t. Точка кола (a cos t; a sin t) після стиснення отримує ординату b sin t. При цьому t не є кутом, під яким точку видно з центра. Для M маємо cos t = 0,6 і t ≈ 53,13°, а промінь OM утворює з віссю Ox кут лише близько 38,66°.

Периметр рахують наближено

Довжину еліпса дає інтеграл з першого рядка наступного рисунка, але первісної в елементарних функціях він не має, тому точне значення знаходять чисельно. Найпростіша здогадка π(a + b) усереднює півосі, ніби еліпс був колом. Рамануджан запропонував складнішу формулу, і таблицю пораховано всіма трьома способами.

Для кола всі три стовпці збігаються, 2π ≈ 6,283. При півосях 5 і 3 здогадка π(a + b) занижує периметр на 0,39, тобто на 1,5 %, а формула Рамануджана помиляється лише в п'ятому знаку після коми. Сплюснутий еліпс з a = 10 і b = 1 майже збігається з відрізком завдовжки 2a, пройденим двічі, тож його периметр 40,640 близький до 4a = 40, а здогадка дає лише 34,558.

Для будь-якого еліпса, крім кола, здогадка π(a + b) менша за точний периметр. При a = 1 і b = 0,01 помилка сягає 20,7 %. Формула Рамануджана тут теж слабшає, 3,987 проти 4,001. Але для більшості задач її точності вистачає з великим запасом.

Нитка, два кілочки й дзеркало

Властивість r₁ + r₂ = 2a дає спосіб накреслити еліпс без рівняння. У фокусах забивають два кілочки, прив'язують до них кінці нитки завдовжки 2a і, натягуючи нитку олівцем, обводять криву. Для еліпса з прикладу кілочки стоять на відстані 8, а нитка має довжину 10.

Ламана F₁MF₂ має ще один зміст. Промінь, випущений з одного фокуса, після відбиття від еліпса проходить через другий, бо дотична в точці M утворює рівні кути з відрізками MF₁ і MF₂.

За першим законом Кеплера планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких перебуває Сонце. Орбіта Землі має e ≈ 0,017, і для такого еліпса відношення b до a дорівнює приблизно 0,99986, тож на рисунку її не відрізнити від кола.

Еліпс у нахиленій склянці

Еліпса немає в шкільній програмі, але побачити його можна у звичайній склянці з водою. Поверхня води в нахиленій циліндричній склянці є еліпсом, бо це переріз циліндра площиною.

Якщо циліндр радіуса r перетнути площиною під кутом α до основи, мала піввісь перерізу дорівнює r, а велика дорівнює r, поділеному на cos α. При α = 60° велика піввісь удвічі більша за радіус, а площа перерізу дорівнює 2πr². Формули самого циліндра зібрано в статті про тіла обертання.

Задачі від фокусів до площі

У третій задачі спершу поділіть обидві частини рівняння на 36, а в п'ятій знадобляться формули r₁ = a + ex і r₂ = a − ex.

Відповіді

Якщо в першій вийшло ±√194, квадрати півосей додано, як для гіперболи. Відповідь 36π у третій виходить, коли знаменники 9 і 4 беруть за самі півосі й забувають добути корінь.

Ще задачі на криві другого порядку

Еліпс, гіперболу й параболу разом із прямою на площині та в просторі розібрано в збірнику «Аналітична геометрія». Кривим другого порядку там відведено окремий розділ, де кожен приклад доведено до кінця. Задачі мають відповіді наприкінці, а перевірити себе можна контрольною роботою й тестом.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Еліпс описано в обсязі розділу про криві другого порядку із силабусу КПІ, а всі приклади, значення в таблиці периметрів і відповіді перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua

Стаття підготовлена 12 жовтня 2026 року. Еліпсом починається тема кривих другого порядку, за ним у курсі аналітичної геометрії йдуть гіпербола й парабола.